Реши задачу: На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю…

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных.

1. Площадь меньшего шестиугольника: Она равна 72. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \] где \( a \) — длина стороны шестиугольника. Таким образом, для меньшего шестиугольника у нас есть: \[ \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2 = 72 \] Отсюда можно найти длину стороны меньшего шестиугольника \( a_1 \).

   Умножим обе стороны на \( \frac{2}{3\sqrt{3}} \): \[ a_1^2 = \frac{72 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{144}{3\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16 \sqrt{3} \] Таким образом, \( a_1 = 4\sqrt[4]{3} \).

2. Диагонали шестиугольника: В правильном шестиугольнике наибольшая диагональ равна удвоенной длине стороны, т.е.: \[ d_{max} = 2a_1 = 2 \cdot 4\sqrt[4]{3} = 8\sqrt[4]{3} \]

3. Наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника, значит, она также равна \( 8\sqrt[4]{3} \).

4. Площадь большего шестиугольника: Обозначим длину стороны большего шестиугольника как \( a_2 \). Тогда: \[ 2a_2 = 8\sqrt[4]{3} \implies a_2 = 4\sqrt[4]{3} \]

   Найдем площадь большего шестиугольника по той же формуле: \[ S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4\sqrt[4]{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \]

5. Пересечение шестиугольников: Примечание заключается в том, что площадь пересечения двух правильных шестиугольников, где один внутри другого и наименьшая диагональ большего совпадает с наибольшей меньшего, равна площади меньшего шестиугольника.

Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна площади меньшего шестиугольника: \[ \text{Площадь пересечения} = 72 \]

Ответ: 72.