реши: На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…
Реши: На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.
Для решения задачи начнем с нахождения стороны меньшего правильного шестиугольника, площадь которого равна 72.
Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] где \( a \) — длина стороны шестиугольника.
Подставим известную площадь в формулу: \[ 72 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]
Теперь выразим \( a^2 \): \[ a^2 = \frac{72 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{144}{3\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3} \] Следовательно, \[ a = \sqrt{16\sqrt{3}} = 4\sqrt[4]{3} \]
Теперь найдем длину наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна \( 2a \): \[ d_{мал} = 2a = 2 \cdot 4\sqrt[4]{3} = 8\sqrt[4]{3} \]
Переходим к большому шестиугольнику. Наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего. Из этого следует, что наименьшая диагональ большего шестиугольника равна \( 8\sqrt[4]{3} \).
Наименьшая диагональ в правильном шестиугольнике также связана со стороной \( b \) следующей формулой: \[ d_{мал} = \sqrt{3} b \]
Приравняем длины диагоналей: \[ \sqrt{3} b = 8\sqrt[4]{3} \] Решим это уравнение относительно \( b \): \[ b = \frac{8\sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3} = 8 \cdot \frac{3^{1/4}}{3^{1/2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot 3^{1/4} = 8 \cdot 3^{-1/4} \]
Теперь найдем площадь большого шестиугольника. Подставляем \( b \) в формулу площади: \[ S_{больш} = \frac{3\sqrt{3}}{2} b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{8}{\sqrt{3}} \cdot 3^{1/4}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{64}{3} \cdot 3^{1/2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{64\sqrt{3}}{3} = \frac{64 \cdot 3}{2} = 96 \]
Теперь, чтобы найти площадь пересечения двух шестиугольников, нам нужно понять, как они пересекаются. Рассмотрим, что они аккуратно накладываются, так что площадь пересечения будет равна площади меньшего шестиугольника.
Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна площади меньшего шестиугольника: \[ \text{Площадь пересечения} = 72 \]
Ответ: 72.
