Реши: На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…
Реши: На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных.
Площадь меньшего шестиугольника: Из условия известно, что площадь меньшего правильного шестиугольника составляет 72. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]
Где \( S \) — площадь шестиугольника, а \( a \) — длина его стороны.
Подставляя значение площади, получаем:
\[ 72 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]
Чтобы найти \( a^2 \), умножим обе стороны уравнения на \( \frac{2}{3\sqrt{3}} \):
\[ a^2 = \frac{72 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{144}{3\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3} \]
Следовательно, длина стороны меньшего шестиугольника:
\[ a = \sqrt{16\sqrt{3}} = 4 \cdot 3^{1/4} \]
Наименьшая диагональ большего шестиугольника: Наименьшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной длине стороны. Следовательно, максимальная диагональ меньшего шестиугольника, которая равна наименьшей диагонали большего, равна:
\[ d_{\text{меньший}} = 2a = 2 \cdot 4 \cdot 3^{1/4} = 8 \cdot 3^{1/4} \]
Определение стороны большего шестиугольника: Обозначим сторону большего шестиугольника как \( b \). Наименьшая диагональ большего шестиугольника также равна \( 2b \). Мы можем установить следующее уравнение:
\[ 2b = 8 \cdot 3^{1/4} \]
Отсюда находим длину стороны большего шестиугольника:
\[ b = 4 \cdot 3^{1/4} \]
Площадь большего шестиугольника: Используя длину стороны \( b \), можем найти его площадь:
\[ S_{\text{большой}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} b^2 \]
Подставляя \( b^2 \):
\[ b^2 = (4 \cdot 3^{1/4})^2 = 16 \cdot 3^{1/2} = 16\sqrt{3} \]
Площадь большего шестиугольника:
\[ S_{\text{большой}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = \frac{3 \cdot 48}{2} = 72 \]
Пересечение шестиугольников: Поскольку меньший шестиугольник полностью вмещается в больший (их площади равны), площадь пересечения двух шестиугольников будет равна площади меньшего шестиугольника, то есть 72.
Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна 72.
