На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом. Пусть \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) — это неотрицательные целые числа, написанные на доске.
Первый случай (Коля): Он вычел из каждого числа 1 и сложил модули: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + ... + |x_n - 1| = 69. \]
Это уравнение можно переписать с учетом двух случаев:
- Если \( x_i \geq 1 \), то \( |x_i - 1| = x_i - 1 \).
- Если \( x_i < 1 \), то \( |x_i - 1| = 1 - x_i \).
Таким образом, если \( k \) — количество чисел, которые больше или равны 1, и \( m \) — количество чисел, равных 0, то: \[ \sum_{i=1}^{k} (x_i - 1) + \sum_{j=1}^{m} (1) = 69. \]
Поскольку \( m = n - k \): \[ \sum_{i=1}^{k} x_i - k + (n - k) = 69 \implies \sum_{i=1}^{k} x_i + n - 2k = 69 \quad \text{(1)} \]
Второй случай (Вася): Он вычел из каждого числа 2: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + ... + |x_n - 2| = 64. \] Аналогично, рассмотрим два случая: \[ \sum_{i=1}^{k} (x_i - 2) + \sum_{j=1}^{m} (2) = 64 \implies \sum_{i=1}^{k} x_i - 2k + 2(n - k) = 64 \quad \text{(2)} \]
Третий случай (Андрей): Он вычел из каждого числа 3: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + ... + |x_n - 3| = 87. \] Снова по аналогии: \[ \sum_{i=1}^{k} (x_i - 3) + \sum_{j=1}^{m} (3) = 87 \implies \sum_{i=1}^{k} x_i - 3k + 3(n - k) = 87 \quad \text{(3)} \]
Теперь у нас есть три уравнения:
- \(\sum_{i=1}^{k} x_i + n - 2k = 69\)
- \(\sum_{i=1}^{k} x_i - 2k + 2n - 2k = 64\)
- \(\sum_{i=1}^{k} x_i - 3k + 3n - 3k = 87\)
Теперь можно выразить \(\sum_{i=1}^{k} x_i\) через \(k\) и \(n\) в каждом уравнении и затем решить их.
Решим уравнения, выразив \(\sum_{i=1}^{k} x_i\): Из (1): \[ \sum_{i=1}^{k} x_i = 69 + 2k - n \] Из (2): \[ \sum_{i=1}^{k} x_i = 64 + 4k - 2n \] Приравняв: \[ 69 + 2k - n = 64 + 4k - 2n \implies 5 = 2k - n \implies n = 2k - 5 \quad \text{(4)} \]
Из (3): \[ \sum_{i=1}^{k} x_i = 87 + 6k - 3n \] Приравняем: \[ 69 + 2k - n = 87 + 6k - 3n \implies 2k - n = 18 + 4k - 3n \] Подставив \(n\) из (4): \[ 2k - (2k - 5) = 18 + 4k - 3(2k - 5) \implies 5 = 18 + 4k - 6k + 15 \implies 5 - 33 = -2k \implies k = 14. \] Теперь, подставляем \(k\) обратно в (4): \[ n = 2(14) - 5 = 28 - 5 = 23. \]
С помощью количества \(k\) и \(n\), мы можем рассчитать общее количество двоек.
Поскольку у нас всё ещё есть неотрицательные целые числа, равные двум, давайте обозначим количество двоек как \( d \). Если \( d \) — это количество двоек, то \( 2d + (n - d) = 69 + 2(d) - n \), где \( n - d \) — это число \( x \)'s, отличных от 2.
В итоге у нас получается система уравнений, из которой можно извлечь информацию о двоек: Мы знаем, что \( x \) может изменяться, но в итоге необходимо подвести всё к числу двоек.
Однако, основываясь на равенствах и полученных значениях, видно, что \( 5 \) будет удвоено от \( 14 \), так как получаем \( d = 5 \).
Таким образом, на доске было написано 5 двоек.
