Дан квадратный трёхчлен f(x). Известно, что линейная функция y=f(x+1)-f(x) обращается в ноль при x=6. При каком значении аргумента обращается в ноль функция y=f(x+3)-f(x)?

Рассмотрим квадратный трёхчлен \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

Сначала анализируем линейную функцию \( y = f(x+1) - f(x) \):

\[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c) \]

Теперь подставим \( f(x+1) \) в уравнение для \( y \):

\[ y = f(x+1) - f(x) = (ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)) - (ax^2 + bx + c) \]

Упрощая это, получаем:

\[ y = (2a + b - b)x + (a + b + c - c) = 2ax + (a + b) \]

Поскольку нам известно, что \( y \) обращается в ноль при \( x = 6 \), подставим это значение:

\[ 0 = 2a(6) + (a + b) \implies 12a + a + b = 0 \implies 13a + b = 0 \implies b = -13a \]

Теперь мы хотим найти значение аргумента, при котором функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль.

Сначала найдем \( f(x+3) \):

\[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x+3) + c = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c \]

Теперь подставим \( f(x+3) \) в уравнение для \( y \):

\[ y = f(x+3) - f(x) = (ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c) - (ax^2 + bx + c) \]

Упрощая, получаем:

\[ y = 6ax + 9a + 3b \]

Теперь подставим значение \( b \):

\[ y = 6ax + 9a + 3(-13a) = 6ax + 9a - 39a = 6ax - 30a \]

Факторизуем:

\[ y = 6a(x - 5) \]

Теперь установим, когда \( y = 0 \):

\[ 6a(x - 5) = 0 \]

Поскольку \( 6a \neq 0 \) (так как \( a \) не может быть равным нулю в квадратном трёхчлене), то у нас остается:

\[ x - 5 = 0 \rightarrow x = 5 \]

Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 5 \).