Дана окружность и с центром О. Точки М и № соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности . На окружности выбраны точки Е и Р так, что хорда EF проходит через точки М и №.…

Для решения данной задачи, начнем с обозначений:

• Пусть радиус окружности равен \( r \).
• Середины радиусов \( OA \) и \( OB \) обозначены как точки \( M \) и \( N \).

Так как точки \( M \) и \( N \) являются серединами радиусов, можно сказать, что \( OM = ON = \frac{r}{2} \).

Хорда \( EF \) проходит через точки \( M \) и \( N \). Мы знаем, что длина хорды \( EF \) равна \( MN - 5 \).

Теперь найдем длину отрезка \( MN \). Он равен расстоянию между точками \( M \) и \( N \). Если соединить точки \( O \), \( M \) и \( N \), то мы получим прямоугольный треугольник \( OMA \) (или \( OMB \)), где \( OM \) и \( ON \) являются катетами.

Согласно теореме Пифагора:

\[ MN^2 = OM^2 + ON^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2 = 2 \cdot \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{r^2}{2}. \]

Тогда длина отрезка \( MN \): \[ MN = \sqrt{\frac{r^2}{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}}. \]

Теперь подставим значение длины \( MN \) в формулу для длины хорды \( EF \): \[ EF = MN - 5 = \frac{r}{\sqrt{2}} - 5. \]

Нам нужно найти отношение радиуса окружности \( r \) к длине хорды \( EF \): \[ \frac{r}{EF} = \frac{r}{\frac{r}{\sqrt{2}} - 5}. \]

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \): \[ \frac{r \cdot \sqrt{2}}{r - 5\sqrt{2}}. \]

Теперь найдём квадрат этого отношения: \[ \left( \frac{r \cdot \sqrt{2}}{r - 5\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{2r^2}{(r - 5\sqrt{2})^2}. \]

Таким образом, ответом будет:

\[ \frac{2r^2}{(r - 5\sqrt{2})^2}. \]

Это и есть искомый квадрат отношения радиуса окружности к длине хорды \( EF \).