График функции y= ||x|-2| 1) Найти область значения функции. 2) Определить промежутки знакопостоянства.

Давайте решим вашу задачу по функции \( y = ||x| - 2| \).

1. Найдем область значения функции.

Сначала разберемся, что происходит внутри функции. Распишем \( y \) по частям.

• Для \( |x| \):
  • Если \( |x| < 2 \), то \( ||x| - 2| = 2 - |x| \).
  • Если \( |x| = 2 \), то \( ||x| - 2| = 0 \).
  • Если \( |x| > 2 \), то \( ||x| - 2| = |x| - 2 \).

Рассмотрим каждую из этих ситуаций:

• Когда \( |x| < 2 \) (то есть \( -2 < x < 2 \)), \( y \) принимает значения от 0 до 2.
• Когда \( |x| = 2 \) (то есть \( x = 2 \) или \( x = -2 \)), \( y = 0 \).
• Когда \( |x| > 2 \) (то есть \( x > 2 \) или \( x < -2 \)), \( y \) будет увеличиваться без ограничений, начиная с 0.

Таким образом, область значения функции будет от 0 до бесконечности, а именно: \[ [0, +\infty). \]

2. Определим промежутки знакопостоянства.

Теперь посмотрим на знаки функции \( y = ||x| - 2| \):

• Для \( x < -2 \): \( |x| = -x \) и \( ||x| - 2| = |(-x) - 2| = |x + 2| \). Здесь \( y > 0 \).
• Для \( -2 < x < 2 \): \( y = 2 - |x| \). Здесь \( y \) уменьшается от 2 (при \( x = 0 \)) до 0 (при \( x = -2 \) и \( x = 2 \)). Следовательно, \( y \) положительно, но уходит к 0.
• Для \( x = -2 \) и \( x = 2 \): \( y = 0 \).
• Для \( x > 2 \): \( y = |x| - 2 = x - 2 \). Здесь \( y > 0 \) и возрастает.

Теперь подытожим знаки:

• \( y > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \).
• \( y = 0 \) на точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
• \( y < 0 \) не бывает, так как функция всегда положительна или нулева.

Таким образом, промежутки знакопостоянства:

• Функция положительна на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \).
• Функция равна нулю в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше разъяснений, не стесняйтесь спрашивать!