График функции y= |x-1/x+1| 1) Найти области определения и значения функции. 2) Определить промежутки знакопостоянства

Давайте по порядку разберём вашу задачу, связанную с графиком функции \( y = \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \).

1) Области определения и значения функции

Область определения:
Для определения области, в которой функция имеет смысл, необходимо обратить внимание на знаменатель дроби \( x + 1 \). Знак равенства показывает, что знаменатель не должен равняться нулю, следовательно:

\[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \]

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме \( x = -1 \): \[ D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \]

Область значений:
Теперь определим, какие значения может принимать функция \( y \). Поскольку функция содержит модуль, её значения всегда будут неотрицательными. Рассмотрим случай без модуля:

• Когда \( x \to -\infty \): \( \frac{x-1}{x+1} \to 1 \) (значение приближается к 1).
• Когда \( x \to +\infty \): \( \frac{x-1}{x+1} \to 1 \).

Теперь рассмотрим значение функции в точке \( x = 1 \): \[ y(1) = \left| \frac{1-1}{1+1} \right| = 0 \]

При \( x = 0 \): \[ y(0) = \left| \frac{0-1}{0+1} \right| = 1 \]

Таким образом, функция принимает значения от 0 до 1, а также стремится к 1 при больших значениях \( x \). Однако, учитывая модуль, функции будет принимать значения от 0 до \( \infty \): \[ E(y) = [0, +\infty) \]

2) Промежутки знакопостоянства

Теперь определим, где функция принимает положительные и отрицательные значения.

1. Функция \( \frac{x-1}{x+1} \) будет:
   • Положительной, когда \( x-1 \) и \( x+1 \) имеют одинаковый знак.
   • Отрицательной в противном случае.

Рассмотрим знаки на интервалах:

• \( x < -1 \): \( x-1 < 0 \) и \( x+1 < 0 \) \( \Rightarrow \) \( \frac{x-1}{x+1} > 0 \)
• \( x = -1 \): функция не определена.
• \( -1 < x < 1 \): \( x-1 < 0 \) и \( x+1 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( \frac{x-1}{x+1} < 0 \)
• \( x = 1 \): \( y(1) = 0 \)
• \( x > 1 \): \( x-1 > 0 \) и \( x+1 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( \frac{x-1}{x+1} > 0 \)

Таким образом, у нас следующие промежутки знакопостоянства:

• \( (-\infty, -1) \): функция положительна.
• \( (-1, 1) \): функция отрицательна.
• \( (1, +\infty) \): функция положительна.

В сумме мы можем записать промежутки знакопостоянства:

• Положительные: \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \)
• Отрицательный: \( (-1, 1) \)

Надеюсь, эта информация была полезной для понимания функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать.