В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером k записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в…

Для определения количества чисел, записанных на доске, которые делятся на 3, нужно рассмотреть каждую строку и найти, описанное в условии, число.

Каждая строка \( k \) содержит числа от 1 до \( k \) в виде последовательности, то есть:

• 1: 1
• 2: 12
• 3: 123
• 4: 1234
• 5: 12345
• ...
• 101: 123456789101112...101

Теперь заметим, что число будет делиться на 3, если сумма его цифр делится на 3. Следует вычислить сумму цифр числа, записанного в строке \( k \).

Сумма цифр для \( k \) будет равна сумме всех чисел от 1 до \( k \): \[ \text{Сумма} = 1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k + 1)}{2} \]

Теперь нужно определить, когда эта сумма делится на 3:

1. Если \( k \equiv 0 \mod 3 \):
   • \( k(k + 1)/2 \equiv 0 \cdot (0 + 1)/2 \equiv 0 \mod 3 \)
2. Если \( k \equiv 1 \mod 3 \):
   • \( k(k + 1)/2 \equiv 1 \cdot (1 + 1)/2 \equiv 1 \mod 3 \)
3. Если \( k \equiv 2 \mod 3 \):
   • \( k(k + 1)/2 \equiv 2 \cdot (2 + 1)/2 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3 \)

Теперь нужно определить количество \( k \) от 1 до 101, которые делятся на 3 или равны 2 по модулю 3.

Числа, делящиеся на 3 от 1 до 101:

• Начиная с 3, последующие будут: 3, 6, 9, ..., 99.
• Это арифметическая прогрессия с первым членом 3 и разностью 3. Количество членов можно найти по формуле \[ n = \frac{99 - 3}{3} + 1 = 33. \]

Числа, равные 2 по модулю 3 от 1 до 101:

• Начиная с 2, последующие будут: 2, 5, 8, ..., 101.
• Это тоже арифметическая прогрессия с первым членом 2 и разностью 3. Количество членов: \[ n = \frac{101 - 2}{3} + 1 = 34. \]

Сложив количество \( k \), которые дают сумму, делящуюся на 3, получаем: \[ 33 + 34 = 67. \]

Таким образом, на доске записано 67 чисел, которые делятся на 3.

Ответ: 67.