В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны 2 cos a и 3 sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.
В прямоугольном треугольнике с острым углом \( a \) катеты равны \( 2 \cos a \) и \( 3 \sin a \). Чтобы найти квадрат меньшего катета, сначала необходимо определить, какой из катетов меньше.
Сравним \( 2 \cos a \) и \( 3 \sin a \):
Сравнение катетов: \[ 2 \cos a < 3 \sin a \] делим обе стороны на \( \sin a \) (предполагая, что \( \sin a > 0 \)): \[ \frac{2 \cos a}{\sin a} < 3 \] Это можно переписать как: \[ 2 \cot a < 3 \quad \Rightarrow \quad \cot a < \frac{3}{2} \]
Мы также можем выразить \( \cot a \) через \( \tan a \): \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} \] Таким образом: \[ \tan a > \frac{2}{3} \]
Это означает, что \( \tan a \) может принимать значения больше \( \frac{2}{3} \) в пределах острых углов.
Теперь сравним два случая:
- Если \( \tan a = \frac{2}{3} \), то у нас будет равенство: \( 2 \cos a = 3 \sin a \).
- Если \( \tan a > \frac{2}{3} \), то \( 2 \cos a < 3 \sin a \).
Таким образом, всегда можно утверждать, что \( 2 \cos a \leq 3 \sin a \).
Находим квадрат меньшего катета \( 2 \cos a \): \[ (2 \cos a)^2 = 4 \cos^2 a \]
Нужно выразить это через тригонометрические функции. Учитываем, что \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).
Минимизация \( \cos^2 a \): Чтобы минимизировать \( 4 \cos^2 a \), нужно максимизировать \( \sin^2 a \). Пусть \( \sin^2 a = t \) тогда: \[ \cos^2 a = 1 - t \] Таким образом \( 4 \cos^2 a = 4(1 - t) = 4 - 4t \).
Так как \( 0 < t < 1 \), \( 4 - 4t \) принимает максимумы, когда \( t \) стремится к минимальным значениям.
Значит, находим \( 4 \cos^2 a \) для различного значения \( t \). Максимальное значение \( t \to 1, a \to 90^{\circ} \)
- Получаем результат: Когда \( t \) равен максимуму, необходимое значение катета требуемого результата даёт: \[ \text{Квадрат меньшего катета} = 4 (1 - t) \to 4(1 - 1) = 0. \] Но поскольку необходимо найти квадрат меньшего, не забываем, что меньший катет меняется.
Таким образом: \[ \frac{4}{9} \]
В заключение, ответ в виде несократимой обыкновенной дроби: \[ \frac{4}{9}. \]
