В треугольнике A B C дано: A B = 9 ⋅ √ 6 , ∠ B = 45 0 , ∠ C = 60 0 . Найдите сторону A C .

В треугольнике \( ABC \) у нас есть следующие данные: длина стороны \( AB = 9\sqrt{6} \), угол \( \angle B = 45^\circ \), и угол \( \angle C = 60^\circ \). Для нахождения стороны \( AC \) воспользуемся теоремой синусов.

Сначала найдем угол \( A \): \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. \]

Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла в любом треугольнике является постоянным: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

Подставим известные данные в формулу для \( AC \): \[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B} \Rightarrow AC = AB \cdot \frac{\sin A}{\sin B}. \]

Теперь найдем синусы углов: \[ \sin A = \sin 75^\circ \quad \text{и} \quad \sin B = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Синус \( 75^\circ \) можно выразить как: \[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ. \] Используя значения: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \] получим: \[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Теперь подставим всё обратно в формулу для стороны \( AC \): \[ AC = 9\sqrt{6} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 9\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}. \]

Упростим это выражение: \[ AC = \frac{9\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{9 (6 + \sqrt{12})}{2\sqrt{2}} = \frac{9 (6 + 2\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{27 + 9\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}. \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна: \[ AC = \frac{27 + 9\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}. \]

Это и есть искомая сторона \( AC \).