(x+1)(x-1)/ x-4 <0

Для решения неравенства \(\frac{(x+1)(x-1)}{x-4} < 0\) необходимо следовать нескольким шагам:

1. Определите нули числителя и знаменателя:

   • Числитель \((x+1)(x-1) = 0\) дает нули в точках \(x = -1\) и \(x = 1\).
   • Знаменатель \(x - 4 = 0\) дает нуль в точке \(x = 4\).

2. Определите промежутки: На числовой прямой отмечаем найденные точки: \(-1\), \(1\) и \(4\). Эти точки разбивают прямую на четыре промежутка:

   • \((-∞, -1)\)
   • \((-1, 1)\)
   • \((1, 4)\)
   • \((4, +∞)\)

3. Проверка знака функции на каждом из промежутков: Выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в исходное неравенство.

   • Для промежутка \((-∞, -1)\), например, \(x = -2\): \(\frac{(-2+1)(-2-1)}{-2-4} = \frac{(-1)(-3)}{-6} = \frac{3}{-6} < 0\) (отрицательно)

   • Для промежутка \((-1, 1)\), например, \(x = 0\): \(\frac{(0+1)(0-1)}{0-4} = \frac{(1)(-1)}{-4} = \frac{-1}{-4} > 0\) (положительно)

   • Для промежутка \((1, 4)\), например, \(x = 2\): \(\frac{(2+1)(2-1)}{2-4} = \frac{(3)(1)}{-2} = \frac{3}{-2} < 0\) (отрицательно)

   • Для промежутка \((4, +∞)\), например, \(x = 5\): \(\frac{(5+1)(5-1)}{5-4} = \frac{(6)(4)}{1} = 24 > 0\) (положительно)

4. Составление окончательного ответа: Мы ищем те промежутки, где функция отрицательна:

   • Промежутки \((-∞, -1)\) и \((1, 4)\).

5. Учитывайте точки: Точки \(x = -1\) и \(x = 1\) не включаются, так как в неравенстве стоит знак "<". Точка \(x = 4\) также не включается, так как функция не определена в этой точке.

Итак, окончательный ответ будет:

\[ (-\infty, -1) \cup (1, 4) \]

Это решение неравенства \(\frac{(x+1)(x-1)}{x-4} < 0\). Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!