В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны cos a и 2 sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

Давайте обозначим катеты треугольника. Пусть \( b = \cos a \) и \( c = 2 \sin a \). В этом треугольнике один катет \( b \) равен \(\cos a\), а другой катет \( c \) равен \( 2 \sin a \).

Здесь меньший катет - это \( \cos a \), так как для любого остроугольного \( a \) (где \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \)) мы имеем \( \cos a > 0 \) и \( 2 \sin a > \cos a \) (так как \( \sin a \) всегда меньше \( 1 \)).

Теперь найдем квадрат меньшего катета:

\[ b^2 = (\cos a)^2 = \cos^2 a. \]

В итоге, мы получили, что квадрат меньшего катета равен:

\[ \cos^2 a. \]

Однако, давайте попробуем выразить его через стандартные тригонометрические функции. В произведении катетов прямоугольного треугольника справедливо следующее:

Для поиска ответа, отметим, что для острых углов можно использовать свойство:

\[ \cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a}. \]

Но для решения задачи мы не должны искать дополнительное выражение. Таким образом, ответ будет записан как:

\[ \cos^2 a. \]

Ответ в виде несократимой обыкновенной дроби, зависящей от значения угла \( a \). Если углов больше и нам потребуется уточнить, напишите, пожалуйста!