На сторонах BC и AB остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что ∠BAM=∠MAC=∠NCB. Известно, что AC=6, AN=2. Найдите значение выражения AM2−MC2.

Чтобы найти значение выражения \( AM^2 - MC^2 \), мы будем использовать свойства треугольников и теорему о средних пропорциях.

Дано:

• \( AC = 6 \)
• \( AN = 2 \)

Обозначим:

• \( AM = x \)
• \( MC = 6 - x \)

Теперь найдем значение \( AM^2 - MC^2 \):

\[ AM^2 - MC^2 = x^2 - (6 - x)^2 \]

Раскроем квадрат:

\[ AM^2 - MC^2 = x^2 - (36 - 12x + x^2) \]

Упростим выражение:

\[ AM^2 - MC^2 = x^2 - 36 + 12x - x^2 \]

Получаем:

\[ AM^2 - MC^2 = 12x - 36 \]

Теперь нам нужно определить значение \( x \). Поскольку \( AN = 2 \) и \( AC = 6 \), мы можем сказать, что длины отрезков \( CN \) и \( NA \) будут связаны следующим образом:

\[ NC = AC - AN = 6 - 2 = 4 \]

Так как \( \angle BAM = \angle MAC = \angle NCB \), это означает, что треугольники \( ABM \) и \( CBN \) подобны. Из подобия треугольников следует, что:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \quad \text{и} \quad \frac{MC}{BC} = \frac{NC}{AC} \]

Для находящегося значения \( x \), можно использовать следующий подход:

Так как \( AN = 2 \) и \( NC = 4 \), мы можем записать пропорцию:

\[ \frac{AM}{AN} = \frac{MC}{NC} \]

Подставляя известные значения \( AN \) и \( NC \), получаем:

\[ \frac{x}{2} = \frac{6 - x}{4} \]

Решим это уравнение:

\[ 4x = 2(6 - x) \] \[ 4x = 12 - 2x \] \[ 6x = 12 \] \[ x = 2 \]

Таким образом, \( AM = 2 \). Теперь, подставим значение \( x \) в выражение \( AM^2 - MC^2 \):

\[ AM^2 - MC^2 = 12 \cdot 2 - 36 = 24 - 36 = -12 \]

Таким образом, значение выражения \( AM^2 - MC^2 \) равно

\[ \boxed{-12}. \]