В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку 12. Далее в строчку с номером k записывали число, получющееся приписываем к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число 123456789101112. Всего на доску выписали 140 строчек, тоесть 140 чисел. Сколько из них делятся на 3?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся, каким образом формируются числа, записанные в строчках.

1. В первой строке записано число 1, во второй — 12. Далее, в каждой последующей строчке k, записано число, которое получается приписыванием к предыдущему числу числа k. Это значит, что в третьей строке будет 123, в четвертой — 1234, и так далее. В общем, в строчке с номером k будет записано число, состоящее из последовательных чисел от 1 до k.

2. Нам нужно проверить, сколько из чисел, записанных с 1 по 140 строки, делятся на 3. Чтобы делать это, вспомним правило делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Теперь посчитаем сумму цифр чисел в строках от 1 до 140.

• Для первой строки: сумма цифр 1 = 1.
• Для второй строки: сумма цифр 1 + 2 = 3 (делится на 3).
• Для третьей строки: сумма цифр 1 + 2 + 3 = 6 (делится на 3).
• Для четвертой строки: сумма цифр 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Можно заметить, что сумма цифр в строках с 1 по 140 будет зависеть от суммы первых k натуральных чисел.

Сумма первых k натуральных чисел равна \( S_k = \frac{k(k + 1)}{2} \).

Теперь нужно выяснить, при каких k эта сумма делится на 3.

Сначала найдем, когда \( k(k + 1)/2 \) делится на 3. Это произойдет, если либо k, либо (k+1) делится на 3, поскольку одно из этих чисел всегда четное и делится на 2.

Теперь рассмотрим три случая для k по модулю 3:

1. Если k ≡ 0 (mod 3), то k делится на 3.
2. Если k ≡ 1 (mod 3), то k + 1 делится на 3.
3. Если k ≡ 2 (mod 3), то (k + 1) не делится на 3.

Теперь нам нужно посчитать, сколько чисел от 1 до 140 удовлетворяют этим условиям.

• Числа, делящиеся на 3: 3, 6, 9, ..., 138. Это арифметическая прогрессия с первым членом 3 и последним 138. Найдем количество членов этой прогрессии: \[ n = \frac{138 - 3}{3} + 1 = 46. \]

• Числа, которые на 1 больше кратны 3: 1, 4, 7, ..., 139. Это тоже арифметическая прогрессия с первым членом 1 и последним 139: \[ n = \frac{139 - 1}{3} + 1 = 47. \]

Суммируем оба результата: 46 (делятся на 3) + 47 (которые на 1 больше кратны 3) = 93.

Таким образом, из 140 чисел, записанных в строчках, 93 числа делятся на 3.