Треугольник ABC,AC-2 корень из 5,B= 45 градусов,C= 30 градусов,найдите сторону C
Чтобы найти сторону \( c \) треугольника ABC, воспользуемся правилом синусов и информацией о треугольнике. Дано следующее:
- \( AC = 2\sqrt{5} \)
- угол \( B = 45^\circ \)
- угол \( C = 30^\circ \)
Сначала найдем угол \( A \):
\[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ. \]
Теперь применим закон синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]
где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).
Мы знаем, что \( b = AC = 2\sqrt{5} \), и теперь можем выразить остальные стороны через закон синусов. Сначала найдем \( a \):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow a = b \cdot \frac{\sin A}{\sin B}. \]
Теперь подставим \( b \):
\[ a = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sin(105^\circ)}{\sin(45^\circ)}. \]
Значения синусов:
- \( \sin(105^\circ) = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \sin(15^\circ) \) и \( \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).
- \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Подставим эти значения:
\[ a = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}. \]
Теперь найдём \( c \):
\[ \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow c = b \cdot \frac{\sin C}{\sin B}. \]
Подставим значение \( b \):
\[ c = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{10}. \]
Таким образом, сторона \( c \) равна \( \sqrt{10} \).
