треугольнике ABC известно, что AC= 2√ 5 см, угол B= 45 градусов, угол C= 30 градусов. Найдите сторону C треугольника.
Для нахождения стороны \( BC \) треугольника \( ABC \) используем закон синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
где:
- \( a = BC \) (сторона, против угла A),
- \( b = AC = 2\sqrt{5} \, \text{см} \) (сторона, против угла B),
- \( c = AB \) (сторона, против угла C),
- \( A \), \( B \), и \( C \) — углы треугольника.
Сначала найдем угол A:
\[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]
Теперь подставим известные значения в закон синусов. Исходя из него, мы можем выразить сторону \( BC \):
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]
Подставим известные углы и сторону:
\[ \frac{BC}{\sin 105^\circ} = \frac{2\sqrt{5}}{\sin 45^\circ} \]
Значения синусов:
\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Теперь подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{BC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Упростим правую часть:
\[ \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{\frac{5}{2}} \]
Теперь приравняем:
\[ BC \cdot 4 = 4\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Отсюда:
\[ BC = \sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]
Таким образом:
\[ BC = \sqrt{30} + \sqrt{10} \, \text{см} \]
Это и будет длина стороны \( BC \) треугольника.
