В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 28 рублей,а в пятницу 53…
В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 28 рублей,а в пятницу 53 рубля. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше,чем в четверг, как минимум на 1000 рублей,а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?
Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- \( x \) — количество награжденных в четверг,
- \( y \) — количество награжденных в пятницу.
Согласно условию, призы стоили в четверг 28 рублей и в пятницу 53 рубля, а также у нас есть информация о суммарных затратах:
- Суммарные затраты в четверг: \( 28x \) рублей.
- Суммарные затраты в пятницу: \( 53y \) рублей.
Из условия задачи мы знаем, что затраты в пятницу превышают затраты в четверг как минимум на 1000 рублей:
\[ 53y - 28x \geq 1000. \]
Также известен факт, что число награжденных в эти дни отличается не более чем на 2:
\[ |x - y| \leq 2. \]
С учетом этого, мы можем рассмотреть два случая:
- \( y = x + k \), где \( k = 0, 1, 2 \)
- \( y = x - k \), где \( k = 0, 1, 2 \)
Теперь давайте подставим это в неравенство.
Случай 1: \( y = x + k \)
Подставим \( y \) в неравенство:
\[ 53(x + k) - 28x \geq 1000. \]
Это упрощается до:
\[ 53x + 53k - 28x \geq 1000, \] \[ 25x + 53k \geq 1000. \]
Случай 2: \( y = x - k \)
Тогда:
\[ 53(x - k) - 28x \geq 1000. \]
Это также упрощается до:
\[ 53x - 53k - 28x \geq 1000, \] \[ 25x - 53k \geq 1000. \]
Теперь давайте рассмотрим оба случая для различных значений \( k \).
При \( k = 0 \)
- \( 25x \geq 1000 \) → \( x \geq 40 \).
- \( 25x \geq 1000 \) → \( x \geq 40 \) (для \( y = x \)).
При \( k = 1 \)
- \( 25x + 53 \geq 1000 \) → \( 25x \geq 947 \) → \( x \geq 37.88 \) → \( x \geq 38 \).
- \( 25x - 53 \geq 1000 \) → \( 25x \geq 1053 \) → \( x \geq 42.12 \) → \( x \geq 43 \).
При \( k = 2 \)
- \( 25x + 106 \geq 1000 \) → \( 25x \geq 894 \) → \( x \geq 35.76 \) → \( x \geq 36 \).
- \( 25x - 106 \geq 1000 \) → \( 25x \geq 1106 \) → \( x \geq 44.24 \) → \( x \geq 45 \).
Теперь нам нужно выбрать наименьшее целое значение, которое соответствует всем случаям.
Наименьшее значение \( x \), которое подходит — это 45 (из случая \( k = 2 \) во втором неравенстве).
Таким образом, наименьшее число награждённых в четверг могло быть 45.
