Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал…
Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 66 км от деревни. Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах.
Давайте разбираемся с этой задачей шаг за шагом.
Обозначим переменные:
- Пусть \( S \) — расстояние от деревни до города (в километрах).
- Пусть \( V_g \) — скорость грузовика (в км/ч).
- Пусть \( V_a \) — скорость автомобиля (в км/ч).
- Грузовик проехал 42 км, а затем еще 66 км до момента, когда они оба прибыли в город.
Время в пути грузовика: Грузовик проехал 42 км и затем 66 км:
- Общее расстояние, пройденное грузовиком: \( 42 + 66 = 108 \) км.
- Время, которое грузовик провел в пути: \[ t_g = \frac{108}{V_g} \]
Время в пути автомобиля: Автомобиль проехал 30 км, когда грузовик находился на расстоянии 66 км от деревни. Это означает, что грузовик проехал расстояние: \[ 42 + 66 = 108 \text{ км} \] Автомобиль выехал позже, то есть он на пути в 30 км, когда грузовик был на расстоянии 108 км от деревни. Таким образом, расстояние, которое автомобилю осталось проехать до города: \[ S - 30 \] Время, которое автомобиль потратил на путь: \[ t_a = \frac{S - 30}{V_a} \]
Сравнение времени: Грузовик и автомобиль прибыли в город одновременно, следовательно: \[ t_g = t_a \] Подставляя у нас есть: \[ \frac{108}{V_g} = \frac{S - 30}{V_a} \]
Связь скоростей: Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 66 км от деревни. Следовательно, \[ (S - 66) - 42 = S - 108 \] Это значит, что сила времени, которое грузовик находился в пути, равно времени, которое автомобиль использует на 30 км.
Из этого уравнения мы можем выразить \( V_g \) через \( V_a \): \[ V_a \cdot \frac{30}{V_a} = \frac{(S - 66) + 30}{V_g} \]
Применение этих значений: Мы знаем, что: \[ t_g = t_a \]
Теперь мы можем выразить \( S \): Так как у нас есть 108 км для грузовика в \( S - 30 \), нам нужно выразить \( V_g \) через \( V_a \): \[ 108 = S - 30 \] Таким образом, S = 108 + 30 = 138 км.
Итак, расстояние от деревни до города составляет 138 км.
