Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал…
Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 66 км от деревни. Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах.
Для решения этой задачи воспользуемся понятиями расстояния, скорости и времени.
Обозначим:
- \( S_g \) — расстояние от деревни до города,
- \( v_g \) — скорость грузовика,
- \( v_a \) — скорость автомобиля.
Из условия известно, что грузовик проехал 42 км, а автомобиль выехал из деревни, когда грузовик уже проехал это расстояние. Мы знаем, что когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 66 км от деревни.
Таким образом, расстояние, которое проехал грузовик, когда автомобиль проехал 30 км: \[ S_g - 66 \text{ км} = 42 \text{ км} + (S_g - 66 - 42) \text{ км} \]
Время, которое грузовик проехал 42 км и еще \( S_g - 66 \) км: \[ t_g = \frac{42}{v_g} + \frac{S_g - 66}{v_g} = \frac{42 + S_g - 66}{v_g} = \frac{S_g - 24}{v_g} \]
Время, которое автомобиль проехал 30 км: \[ t_a = \frac{30}{v_a} \]
Поскольку они оба прибыли в город одновременно, мы можем записать уравнение: \[ t_g = t_a \] \[ \frac{S_g - 24}{v_g} = \frac{30}{v_a} \]
Также, из условия задачи, когда автомобиль проехал 30 км, грузовик проехал: \[ 42 + (S_g - 66) = S_g - 24 \]
Теперь выразим скорости в зависимости от расстояний: \[ v_g = \frac{S_g - 24}{t_a} \quad \text{и} \quad v_a = \frac{30}{t_a} \]
Подставляем значения: \[ \frac{S_g - 24}{\frac{30}{v_a}} = v_a \] Это уравнение мы можем решить, но заметим, что нам нужно установить соотношение между расстояниями.
Заметим, что грузовик проехал \( S_g - 24 \) км, когда автомобиль проехал 30 км, а это значит:
- Грузовик выехал на \( t_g = t_a \) при скорости \( v_g \) и расстоянии \( S_g \).
Итак, у нас есть два уравнения: одно для грузовика (в том числе) и одно для автомобиля по времени.
Давайте соберем все уравнения в одно, чтобы выразить \( S_g \): \[ \frac{S_g - 24}{v_g} = \frac{30}{\frac{S_g - 24}{30}}. \] Упрощаем уравнение.
Пользуясь тем, что \( v_g \) и \( v_a \) — постоянные скорости: \[ S_g - 24 = 30 \cdot \frac{v_g}{v_a}. \]
После преобразования получим \( S_g \): \[ S_g = 66 + 30 = 96. \]
Таким образом, расстояние от деревни до города составляет \( 96 \) км.
