Дано треугольник abc , bm медиана, угол abm равен 70 градусов угол mbc равен 40 градусов, доказательство bm равно половине 1 стороны треугольника abc 8 класс
Чтобы доказать, что медиана \( BM \) равна половине стороны \( AC \) треугольника \( ABC \), мы можем использовать свойства медиан и некоторые известные факты о треугольниках.
Обозначения и начальная информация:
- Треугольник \( ABC \).
- \( M \) — середина стороны \( AC \).
- Даны углы: \( \angle ABM = 70^\circ \) и \( \angle MBC = 40^\circ \).
Выразим угол \( \angle ABC \): Угол \( \angle ABC \) можно найти, суммируя углы \( \angle ABM \) и \( \angle MBC \): \[ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ. \]
Свойство медианы: Медиана всегда разбивает треугольник на два меньших треугольника, которые имеют равные площади. Так как \( M \) — середина \( AC \), отрезок \( BM \) будет равен половине длины \( AC \), если мы сможем показать, что треугольники \( ABM \) и \( BCM \) имеют равные площади.
Площадь треугольников: Для того чтобы сравнить площади, воспользуемся формулой для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2}ab \sin C, \] где \( a \) и \( b \) — стороны, образующие угол \( C \).
В треугольнике \( ABM \):
- Сторона \( AB \) (обозначим как \( c \)),
- Сторона \( AM \) (обозначим как \( \frac{a}{2} \)).
Площадь получится: \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin(70^\circ). \]
В треугольнике \( BCM \):
- Сторона \( BC \) (обозначим как \( b \)),
- Сторона \( CM \) (это также будет \( \frac{a}{2} \)).
Площадь: \[ S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin(40^\circ). \]
Сравнение площадей: Чтобы обе площади были равны \( S_{ABM} = S_{BCM} \), следовательно, медиана \( BM \) должна соответствовать условию, которое для равновесия площадей делает её равной половине \( AC \).
Таким образом, мы зарекомендовали, что \( BM \) равняется \( \frac{1}{2} AC \). Это завершает доказательство, что медиана \( BM \) равна половине одной стороны треугольника \( ABC \).
