На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Давайте обозначим количество чисел на доске как \( n \), а сами числа как \( a_1, a_2, \ldots, a_n \).

Из условия задачи мы можем записать три уравнения относительно суммы модулей:

1. Коля вычел из каждого числа 1:

\[ \sum_{i=1}^n |a_i - 1| = 69 \]

2. Вася вычел из каждого числа 2:

\[ \sum_{i=1}^n |a_i - 2| = 64 \]

3. Андрей вычел из каждого числа 3:

\[ \sum_{i=1}^n |a_i - 3| = 87 \]

Теперь запишем каждое из этих выражений отдельно, разделив числа на три категории: те, которые меньше 1, те, которые равны 1, те, которые равны 2 и те, которые больше 2. Пусть:

• \( x_0 \) - количество нулей (\( a_i = 0 \)),
• \( x_1 \) - количество единиц (\( a_i = 1 \)),
• \( x_2 \) - количество двоек (\( a_i = 2 \)),
• \( x_3 \) - количество троек (\( a_i = 3 \)),
• \( x_4 \) - количество чисел больше 3.

Тогда количество всех чисел:

\[ n = x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \]

Теперь запишем каждое из выражений для сумм модулей:

1. Коля:

\[ \sum_{i=1}^n |a_i - 1| = x_0 \cdot 1 + x_1 \cdot 0 + x_2 \cdot 1 + x_3 \cdot 2 + x_4 \cdot (a_i - 1) = 69 \]

2. Вася:

\[ \sum_{i=1}^n |a_i - 2| = x_0 \cdot 2 + x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 0 + x_3 \cdot 1 + x_4 \cdot (a_i - 2) = 64 \]

3. Андрей:

\[ \sum_{i=1}^n |a_i - 3| = x_0 \cdot 3 + x_1 \cdot 2 + x_2 \cdot 1 + x_3 \cdot 0 + x_4 \cdot (a_i - 3) = 87 \]

Теперь, давайте упростим эти уравнения:

1. Коля:

\[ x_0 + x_2 + 2x_3 + \text{(сумма для } x_4) = 69 \]

2. Вася:

\[ 2x_0 + x_1 + x_3 + \text{(сумма для } x_4) = 64 \]

3. Андрей:

\[ 3x_0 + 2x_1 + x_2 + \text{(сумма для } x_4) = 87 \]

Теперь вычтем уравнения следующим образом, чтобы избавиться от части с \( x_4 \). Сначала считаем разницу между первым и вторым уравнением:

\[ (x_0 + x_2 + 2x_3) - (2x_0 + x_1 + x_3) = 69 - 64 \] \[ -x_0 + x_2 + x_3 - x_1 = 5 \quad (1) \]

Теперь возьмем второе и третье:

\[ (2x_0 + x_1 + x_3) - (3x_0 + 2x_1 + x_2) = 64 - 87 \] \[ -x_0 - x_1 - x_2 + x_3 = -23 \quad (2) \]

Итак, у нас есть две новые системы уравнений. Найдем решение:

1. Из уравнения (1): \[ x_3 = x_0 + x_1 + 5 \]

2. Подставим в уравнение (2): \[ -x_0 - x_1 - x_2 + (x_0 + x_1 + 5) = -23 \] Получаем \( -x_2 + 5 = -23 \) или \[ x_2 = 28. \]

Таким образом, у нас получилось, что количество двоек на доске равно \( \boxed{28} \).