Для решения этой задачи давайте сначала определим, сколько матчей будет сыграно в турнире и каковы возможные ситуации с очками.
В турнире участвуют 14 команд, и каждая команда играет с каждой один раз. Значит, общее количество матчей можно вычислить по формуле для комбинаций:
[
C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( n ) – количество команд. В нашем случае:
[
C(14, 2) = \frac{14 \times 13}{2} = 91
]
Таким образом, в турнире будет сыграно 91 матч. Каждая команда получит 1 очко за победу. Поскольку в каждом туре проходит 7 матчей, то за один тур распределяется 7 очков.
Теперь давайте выясним, какое максимальное количество туров нам нужно провести, чтобы стало невозможно, что три команды имеют одинаковое количество очков.
Если мы хотим избежать ситуации, когда существует 3 команды с одинаковым количеством очков, то нам нужно обеспечить, чтобы у команд были разные количества очков. С помощью 14 команд каждый может набирать разные очки от 0 до 91. Но нам нужно избежать ситуации, когда 3 из них имеют одинаковые очки.
Пусть количество команд с разными наборами очков выражается числом ( k ). Для того чтобы избежать трех одинаковых значений, нам нужно, чтобы количество команд, имеющих одинаковое количество очков, было меньше 3. Это значит, что при ( k = 14 ) (все команды имеют разные очки) существует максимум 2 команды с одинаковыми значениями.
Однако при 14 командах можно существенно перераспределять очки, используя матчи и туры. Минимальное число туров, при котором можно прийти к такому состоянию, когда три команды не могут иметь одинаковое количество очков, можно определить методом проб и ошибок.
Итак, максимально возможное количество очков — 91, при этом за один тур команды могут получить 7 очков. Если мы проведем 7 туров, то общее количество очков составит:
[
7 \text{ матчей} \times 7 \text{ туров} = 49 \text{ очков}
]
Если в команде максимальное количество очков 49, то мы не сможем избежать ситуации, когда некоторые команды все равно могут иметь одинаковые очки.
Чтобы избежать этого, нам нужно продолжать до тех пор, пока мы не наберем достаточное количество очков, чтобы все команды могли иметь разные значения. Таким образом, для нахождения наименьшего количества туров, при котором это становится невозможным, мы можем использовать общее количество очков и распределять их так, чтобы три команды с одинаковыми результатами не возникали.
Результат — нужно провести как минимум 13 туров, чтобы гарантировать, что у трех команд не будет одинаковое количество очков, ведь 13 туров в общей сложности дадут нам 91 очко, что как раз позволит равномерно распределить очки между 14 командами без повторов.