Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим числа:

   • Пусть числа Анны – это \(a_1, a_2, a_3\).
   • Пусть числа Бориса – это \(b_1, b_2, b_3\).

2. Условия задачи:

   • У Анны и Бориса ровно одно общее число, обозначим его \(x\).
   • Сумма любых двух различных чисел Анны равна одному из чисел Бориса. Это можно записать как: \[ a_i + a_j = b_k \] для любых \(i \neq j\) и \(k\).
   • Анна назвала число, которое в три раза меньше одного из чисел Бориса: \[ a_i = \frac{1}{3} b_k \]
   • Борис назвал число 50, значит одно из его чисел равно 50.

3. Разберем число Бориса:

   • Борис имеет число \(b_k = 50\).
   • Теперь, если Анна назвала число, которое в три раза меньше, это значит, что: \[ a_i = \frac{1}{3} \cdot 50 = \frac{50}{3} \text{ (не целое число)} \]
   • Так что \(50\) не может быть тем числом, к которому относится Анна.

4. Поиск других чисел:

   • Борис должен иметь еще два числа, которые могут быть получены из суммы чисел Анны.
   • Рассмотрим, что может быть другим общим числом \(x\).

5. Предположение:

   • Предположим, одно из чисел Анны – это \(x\).

6. Условие одного общего числа:

   • Если \(x\) – общее число, то оно должно быть одним из чисел Бориса. Значит, либо одно из \(b_1, b_2, b_3\) равно \(x\).

7. Сложения чисел:

   • Пусть два числа Анны \(a_1\) и \(a_2\) такие, что \(a_1 + a_2 = 50\).

Если подставим \(b_1 = 50\):

• Положим \(a_1 + a_2 = 50\), значит, \(a_1 + a_2 = 50\), а \(x\) – это \(a_3\).

8. Решение:
   • Допустим, \(x = 10\). Тогда \(a_1 = 20\) и \(a_2 = 30\) (проверяем).
   • Тогда:
     • \(a_1 + a_3 = 20 + 10 = 30\), даёт число Бориса.
     • \(30 + 10 = 40\) (другое число Бориса).
     • \(x\) можно положить как 10.

Таким образом, число, которое назвала Анна, равно 10.