Для решения этой задачи нужно использовать понятие резонанса в цепях переменного тока, где индуктивное и емкостное сопротивления равны по величине. В резонансе, когда частота ( f ) равна 20 кГц, создается условие, при котором индуктивное сопротивление ( X_L ) равно емкостному сопротивлению ( X_C ).
Формула для индуктивного сопротивления:
[
X_L = 2\pi f L
]
где:
- ( f ) — частота (в герцах),
- ( L ) — индуктивность (в генри).
Формула для емкостного сопротивления:
[
X_C = \frac{1}{2\pi f C}
]
где:
- ( C ) — электроёмкость (в фарадах).
По условию, индуктивное сопротивление равно ( 5 , \text{кОм} = 5000 , \text{Ом} ):
[
X_L = 5000 , \text{Ом}
]
Теперь подставим значение частоты и индуктивного сопротивления в формулу для ( L ):
[
5000 = 2\pi \cdot 20000 \cdot L
]
Решим для ( L ):
[
L = \frac{5000}{2\pi \cdot 20000} = \frac{5000}{125663.706} \approx 0.0398 , \text{Гн}
]
Зная индуктивность, найдём резонансную ёмкость. В резонансе ( X_L = X_C ), следовательно:
[
5000 = \frac{1}{2\pi \cdot 20000 \cdot C}
]
Теперь решим для ( C ):
[
C = \frac{1}{2\pi \cdot 20000 \cdot 5000}
]
Посчитаем значение:
[
C \approx \frac{1}{1256637060} \approx 7.96 \times 10^{-10} , \text{Ф} = 796 , \text{пФ}
]
Таким образом, электроёмкость конденсатора, подключенного в последовательную цепь переменного тока, составляет примерно ( 796 , \text{пФ} ).