Методом Гаусса решить систему и представить её решение в базисной форме x1-3x2+4x3-x4=1 7x1+3x2-5x3+5x4=10 2x1+2x2-3x3+2x4=3

Давайте решим систему уравнений методом Гаусса и представим решение в базисной форме.

Система уравнений:

1. \( x_1 - 3x_2 + 4x_3 - x_4 = 1 \)
2. \( 7x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 10 \)
3. \( 2x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 3 \)

Сначала запишем её в матричной форме:

\[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 \\ 7 & 3 & -5 & 5 \\ 2 & 2 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 10 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Начнем с применения метода Гаусса для преобразования матрицы в верхнюю треугольную форму.

1. Мы можем вычесть 7 раз первое уравнение из второго и 2 раза первое уравнение из третьего, чтобы избавиться от \( x_1 \) во втором и третьем уравнении:

   Для второго уравнения: \[ 7x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 - 7(1) = 10 - 7 \] Упрощая, получаем: \[ 0 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 3 \] Или: \[ 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 3 \]

   Для третьего уравнения: \[ 2x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 - 2(1) = 3 - 2 \] Упрощая, получаем: \[ 0 + 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 1 \] Или: \[ 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 1 \]

Теперь система уравнений выглядит так:

1. \( x_1 - 3x_2 + 4x_3 - x_4 = 1 \)

2. \( 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 3 \)

3. \( 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 1 \)

4. Следующим шагом мы можем выразить \( x_2 \) через \( x_3 \) и \( x_4 \). Для этого можно решить второе уравнение для \( x_2 \): \[ 3x_2 = 3 + 5x_3 - 5x_4 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 1 + \frac{5}{3}x_3 - \frac{5}{3}x_4 \]

5. Подставим \( x_2 \) в третье уравнение: \[ 2(1 + \frac{5}{3}x_3 - \frac{5}{3}x_4) - 3x_3 + 2x_4 = 1 \] Упрощаем: \[ 2 + \frac{10}{3}x_3 - \frac{10}{3}x_4 - 3x_3 + 2x_4 = 1 \] Запишем уравнение без дробей: \[ 2 + \frac{10}{3}x_3 - \frac{9}{3}x_3 + (\frac{6}{3} - \frac{10}{3})x_4 = 1 \] Упрощая, получим: \[ \frac{1}{3}x_3 - \frac{4}{3}x_4 = -1 \quad \Rightarrow \quad x_3 - 4x_4 = -3 \]

Теперь выразим \( x_3 \): \[ x_3 = 4x_4 - 3 \]

4. Подставим \( x_3 \) обратно в выражение для \( x_2 \): \[ x_2 = 1 + \frac{5}{3}(4x_4 - 3) - \frac{5}{3}x_4 \] Упрощая, получим: \[ x_2 = 1 + \frac{20}{3}x_4 - 5 - \frac{5}{3}x_4 = -4 + \frac{15}{3}x_4 = -4 + 5x_4 \]

5. Теперь подставим \( x_2 \) и \( x_3 \) в первое уравнение: \[ x_1 - 3(-4 + 5x_4) + 4(4x_4 - 3) - x_4 = 1 \] Упрощая: \[ x_1 + 12 - 15x_4 + 16x_4 - 12 - x_4 = 1 \] Упрощая, получаем: \[ x_1 = 1 - 0x_4 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1 \]

Таким образом, мы получили следующую базисную форму:

• \( x_1 = 1 \)
• \( x_2 = -4 + 5x_4 \)
• \( x_3 = 4x_4 - 3 \)
• где \( x_4 \) - свободная переменная.

Решение системы можно записать в базисной форме так: \[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Таким образом, вы нашли решение системы линейных уравнений. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!