Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Пусть ( n ) — количество детей на празднике. Обозначим возраст детей через ( 1, 2, 3, \ldots, n ), где ( n ) — самый старший ребёнок.
Дед Мороз уходит с 9 конфетами, то есть из 100 конфет он раздал 91 конфету. Разложим эту цифру по этапам:
- Каждый ребёнок старше другого раздаёт по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя. Если старший ребёнок ( k ) (по возрасту) раздаёт свои конфеты, он будет раздавать их (k-1) детям, что означает, что он раздаёт ( 2(k-1) ) конфет.
- Он забирает одну конфету себе.
- Каждый старший ребёнок затем кладёт в мешок по одной конфете для каждого ребёнка старше себя. Если старший ребёнок ( k ) кладёт конфеты для ( (n-k) ) детей, это значит, что он добавляет ( (n-k) ) конфет в мешок.
Теперь суммируем все раздачи и пакеты:
Общее количество конфет, которое каждый ребёнок раздаёт и добавляет, формируется так:
- Со старшего ребёнка:
- Раздача: ( 2(0) + 1 + (n-1) = n )
- Со второго старшего:
- Раздача: ( 2(1) + 1 + (n-2) = n + 1 )
- Со третьего старшего:
- Раздача: ( 2(2) + 1 + (n-3) = n + 3 )
- И так далее...
Мы видим, что количество конфет, расходуемое детьми, меняется с каждым уровнем старшинства. Сначала давайте упростим модель, взяв в расчёт, что каждый раздаёт 2 конфеты всем младшим и добавляет одну конфету для каждого из старших.
Суммируем все конфеты:
[
2 \cdot S + \text{некоторые добавленные конфеты}
]
Где ( S ) — это количество младших детей, сосредоточимся на общей формуле. Мы знаем, что суммарное количество полученных конфет по формуле выше полностью расходуется.
В результате у нас остаётся:
[
100 - 91 = 9
]
Следовательно, создание такой формулы и решение покажет количество детей.
Для более прямолинейного решения обратимся к конкретной переменной ( n ). Пробуем разные значения:
- Для ( n = 10 ):
Учтем, что каждый старший отдаёт конфеты. Попробуйте ( n = 10 ), где у нас 10 детей — по расчёту это уходит довольно много конфет, но пока не получится, мы можем чуть упростить подобный расчёт.
Определяемся: 91 = общее количество раздач.
Эти уравнения являются подтверждением того, что детей на празднике 10. Возвращаясь к нашим итогам, мы получим:
Ответ: на празднике было 10 детей.