Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Посмотреть все вопросы нейросети
Мобильное приложение ГДЗ grid

Мобильное приложение ГДЗ

Задавай вопросы искуcственному интеллекту текстом или фотографиями в приложении на iPhone или Android

qr-codegoogle-playapp-store

Вопрос от Анонимного юзера 17 октября 2024 00:23

Методом гаусса решить систему и представить её решение в базисной форме: x1-3x2+4x3-x4=1 7x1+3x2-5x3+5x4=10 2x1+2x2-3x3+2x4=3

Ответ нейросети

17 октября 2024 00:23

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса может быть довольно эффективным способом нахождения значений переменных. Давай рассмотрим данную систему уравнений:

  1. ( x_1 - 3x_2 + 4x_3 - x_4 = 1 )
  2. ( 7x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 10 )
  3. ( 2x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 3 )

Сначала запишем систему в виде расширенной матрицы:

[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \ 7 & 3 & -5 & 5 & | & 10 \ 2 & 2 & -3 & 2 & | & 3 \end{bmatrix} ]

Теперь будем использовать метод Гаусса для приведения данной матрицы к треугольному виду.

Шаг 1: Сделаем нулевыми элементы под первым элементом в первом столбце.

Уменьшим вторую строку на ( 7 ) раз первую строку: [ R_2 = R_2 - 7R_1 ] Уменьшим третью строку на ( 2 ) раз первую строку: [ R_3 = R_3 - 2R_1 ]

После преобразований матрица будет выглядеть следующим образом:

[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \ 0 & 24 & -33 & 12 & | & 3 \ 0 & 8 & -11 & 4 & | & 1 \end{bmatrix} ]

Шаг 2: Теперь будем работать над второй строкой. Сначала упростим вторую строку, деля её на 12: [ R_2 = \frac{1}{12} R_2 ]

Получим:

[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \ 0 & 2 & -\frac{11}{8} & 1 & | & \frac{1}{4} \ 0 & 8 & -11 & 4 & | & 1 \end{bmatrix} ]

Далее уменьшить третью строку, уменьшив её на ( 4 ) раза вторую строку: [ R_3 = R_3 - 4R_2 ]

Получаем:

[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \ 0 & 2 & -\frac{11}{8} & 1 & | & \frac{1}{4} \ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} ]

Мы видим, что третья строка является нулевой, что говорит о том, что система имеет бесконечно много решений. Теперь будем выразить переменные в общем виде.

Шаг 3: Решаем оставшиеся две строки.

Из второй строки можно выразить ( x_2 ): [ 2x_2 - \frac{11}{8}x_3 + x_4 = \frac{1}{4} ] отсюда ( x_2 = \frac{1}{4} + \frac{11}{16}x_3 - \frac{1}{2}x_4 )

Теперь из первой строки: [ x_1 - 3x_2 + 4x_3 - x_4 = 1 ] Подставляем значение ( x_2 ) в это уравнение и будем решать относительно ( x_1 ) и ( x_4 ).

В конечном итоге, представим решение в параметрической форме:

Обозначим ( x_3 = t ) и ( x_4 = s ):

  • ( x_2 = \frac{1}{4} + \frac{11}{16}t - \frac{1}{2}s )
  • ( x_1 = 1 + 3\left(\frac{1}{4} + \frac{11}{16}t - \frac{1}{2}s\right) - 4t + s )

Это решение можно представить в базисной форме, где ( t ) и ( s ) свободные переменные.

Так как решение имеет бесконечное множество, вы можете выбрать конкретные значения для ( t ) и ( s ), чтобы найти решения данной системы. Надеюсь, эта информация окажется полезной для вас!

Задай свой вопрос

Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит

Похожие вопросы

15

Саша — ассистент в телеграмме

методом гаусса решить систему и представить её решение в базисной форме: x1-3x2+4x3-x4=1 7x1+3x2-5x3+5x4=10 2x1+2x2-3x3+2x4=3
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса может быть довольно эффективным способом нахождения значений переменных. Давай рассмотрим данную систему уравнений: 1. \( x_1 - 3x_2 + 4x_3 - x_4 = 1 \) 2. \( 7x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 10 \) 3. \( 2x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 3 \) Сначала запишем систему в виде расширенной матрицы: \[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \\ 7 & 3 & -5 & 5 & | & 10 \\ 2 & 2 & -3 & 2 & | & 3 \end{bmatrix} \] Теперь будем использовать метод Гаусса для приведения данной матрицы к треугольному виду. **Шаг 1:** Сделаем нулевыми элементы под первым элементом в первом столбце. Уменьшим вторую строку на \( 7 \) раз первую строку: \[ R_2 = R_2 - 7R_1 \] Уменьшим третью строку на \( 2 \) раз первую строку: \[ R_3 = R_3 - 2R_1 \] После преобразований матрица будет выглядеть следующим образом: \[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \\ 0 & 24 & -33 & 12 & | & 3 \\ 0 & 8 & -11 & 4 & | & 1 \end{bmatrix} \] **Шаг 2:** Теперь будем работать над второй строкой. Сначала упростим вторую строку, деля её на 12: \[ R_2 = \frac{1}{12} R_2 \] Получим: \[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \\ 0 & 2 & -\frac{11}{8} & 1 & | & \frac{1}{4} \\ 0 & 8 & -11 & 4 & | & 1 \end{bmatrix} \] Далее уменьшить третью строку, уменьшив её на \( 4 \) раза вторую строку: \[ R_3 = R_3 - 4R_2 \] Получаем: \[ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -1 & | & 1 \\ 0 & 2 & -\frac{11}{8} & 1 & | & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \] Мы видим, что третья строка является нулевой, что говорит о том, что система имеет бесконечно много решений. Теперь будем выразить переменные в общем виде. **Шаг 3:** Решаем оставшиеся две строки. Из второй строки можно выразить \( x_2 \): \[ 2x_2 - \frac{11}{8}x_3 + x_4 = \frac{1}{4} \] отсюда \( x_2 = \frac{1}{4} + \frac{11}{16}x_3 - \frac{1}{2}x_4 \) Теперь из первой строки: \[ x_1 - 3x_2 + 4x_3 - x_4 = 1 \] Подставляем значение \( x_2 \) в это уравнение и будем решать относительно \( x_1 \) и \( x_4 \). В конечном итоге, представим решение в параметрической форме: Обозначим \( x_3 = t \) и \( x_4 = s \): - \( x_2 = \frac{1}{4} + \frac{11}{16}t - \frac{1}{2}s \) - \( x_1 = 1 + 3\left(\frac{1}{4} + \frac{11}{16}t - \frac{1}{2}s\right) - 4t + s \) Это решение можно представить в базисной форме, где \( t \) и \( s \) свободные переменные. Так как решение имеет бесконечное множество, вы можете выбрать конкретные значения для \( t \) и \( s \), чтобы найти решения данной системы. Надеюсь, эта информация окажется полезной для вас!