Определи такие два целых числа, чтобы их сумма была равна 30, а их произведение было самым большим из возможных.

Для того чтобы найти два целых числа, сумма которых равна 30, а произведение – максимальное, давайте обозначим эти числа как \( x \) и \( y \). Мы можем записать уравнение для суммы:

\[ x + y = 30 \]

Теперь, выразим одно число через другое. Например, \( y = 30 - x \). Теперь подставим это значение в формулу произведения:

\[ P = x \cdot y = x \cdot (30 - x) = 30x - x^2 \]

Теперь у нас есть квадратичная функция \( P(x) = -x^2 + 30x \), которую мы хотим максимизировать. Поскольку график этой функции – парабола, открытая вниз, максимум будет достигаться в вершине.

Вершина квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле:

\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]

В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 30 \):

\[ x_{max} = -\frac{30}{2 \cdot -1} = 15 \]

Теперь подставим значение \( x \) обратно, чтобы найти \( y \):

\[ y = 30 - x = 30 - 15 = 15 \]

Таким образом, два целых числа, сумма которых равна 30 и произведение которого максимально, это:

15 и 15.

Их произведение равняется \( 15 \cdot 15 = 225 \).