Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Посмотреть все вопросы нейросети
Мобильное приложение ГДЗ grid

Мобильное приложение ГДЗ

Задавай вопросы искуcственному интеллекту текстом или фотографиями в приложении на iPhone или Android

qr-codegoogle-playapp-store

Вопрос от Анонимного юзера 17 октября 2024 00:26

По кругу расставлены девяносто горшков. В каждом из горшков сидит хотя бы одна лягушка, и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки, сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки?

Ответ нейросети

17 октября 2024 00:26

Дан массив горшков, каждый из которых содержит лягушек. Обозначим количество лягушек в каждом горшке (a_i), где (i) - номер горшка (от 1 до 90).

Из условия задачи следует, что в любых трех подряд стоящих горшках суммарно 4 лягушки, то есть: [ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4, \quad \forall i \in {1, 2, \ldots, 90} ]

Поскольку горшки расположены по кругу, для 90 горшков мы можем переписать это условие для последующих наборов: [ a_{90} + a_1 + a_2 = 4, \quad a_{89} + a_{90} + a_1 = 4, \quad \ldots ]

Теперь обозначим количество лягушек в каждом горшке:

  • (a_1 = x_1)
  • (a_2 = x_2)
  • (a_3 = x_3)

По условию, нам известно следующее: [ x_1 + x_2 + x_3 = 4 ] Для следующего тройки: [ x_2 + x_3 + x_4 = 4 ] Это дает: [ x_4 = 4 - x_2 - x_3 = x_1 ] Аналогично, мы можем вывести, что: [ x_5 = x_2, \quad x_6 = x_3, \quad x_7 = x_1, \quad \ldots ]

В результате, последовательность будет периодической с периодом 3, т.е:

  • (x_1), (x_2), (x_3), (x_1), (x_2), (x_3), \ldots

Поскольку всего 90 горшков (90 делится на 3), наши значения (x_1), (x_2) и (x_3) будут повторяться 30 раз.

Обозначим количество лягушек в горшках как:

  • (x_1 = a)
  • (x_2 = b)
  • (x_3 = c)

При этом: [ a + b + c = 4, \quad \text{где } a, b, c \geq 1 ]

Чтобы решить данное уравнение, сделаем замену переменных: [ a' = a - 1, \quad b' = b - 1, \quad c' = c - 1 ] Тогда: [ a' + b' + c' = 1, \quad a', b', c' \geq 0 ] Количество неотрицательных решений этого уравнения можно найти с помощью формулы "звезда и палочка". В данном случае решений будет: [ \binom{1 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{3}{2} = 3 ]

Теперь нам нужно выяснить, сколько способов выбрать два горшка из каждого типа (где (x_1), (x_2), (x_3)):

  1. ( (a, b) ) - 1 лягушка, 2 лягушки (1, 2)
  2. ( (b, c) ) - 1 лягушка, 2 лягушки (2, 1)
  3. ( (c, a) ) - 1 лягушка, 2 лягушки (1, 2)

Для каждого вида выбора нужно рассмотреть, сколько горшков подходит под каждую категорию:

  • Выбор 2 горшка с одной лягушкой и 2 лягушками.

Количество таких пар составит:

  • Лягушка в горшке с (1) лягушкой (первая) и горшок с (стрелка будет на 2, или 1).

Итак, можем пробежаться по всем способам и найденные варианты определим через:

  • Каждая пара также должна быть выбрана с перестановкой, учитывая порядок.

Итак, рассматривая различные варианты, найдём числовое значение выброски. Мы получили:

  • 30 пар с (1,2) => Мы находим:

Общее количество способов: [ \boxed{90} ]

Задай свой вопрос

Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит

Похожие вопросы

15

Саша — ассистент в телеграмме

По кругу расставлены девяносто горшков. В каждом из горшков сидит хотя бы одна лягушка, и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки, сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки?
Дан массив горшков, каждый из которых содержит лягушек. Обозначим количество лягушек в каждом горшке \(a_i\), где \(i\) - номер горшка (от 1 до 90). Из условия задачи следует, что в любых трех подряд стоящих горшках суммарно 4 лягушки, то есть: \[ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4, \quad \forall i \in \{1, 2, \ldots, 90\} \] Поскольку горшки расположены по кругу, для 90 горшков мы можем переписать это условие для последующих наборов: \[ a_{90} + a_1 + a_2 = 4, \quad a_{89} + a_{90} + a_1 = 4, \quad \ldots \] Теперь обозначим количество лягушек в каждом горшке: - \(a_1 = x_1\) - \(a_2 = x_2\) - \(a_3 = x_3\) По условию, нам известно следующее: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 4 \] Для следующего тройки: \[ x_2 + x_3 + x_4 = 4 \] Это дает: \[ x_4 = 4 - x_2 - x_3 = x_1 \] Аналогично, мы можем вывести, что: \[ x_5 = x_2, \quad x_6 = x_3, \quad x_7 = x_1, \quad \ldots \] В результате, последовательность будет периодической с периодом 3, т.е: - \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \ldots Поскольку всего 90 горшков (90 делится на 3), наши значения \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) будут повторяться 30 раз. Обозначим количество лягушек в горшках как: - \(x_1 = a\) - \(x_2 = b\) - \(x_3 = c\) При этом: \[ a + b + c = 4, \quad \text{где } a, b, c \geq 1 \] Чтобы решить данное уравнение, сделаем замену переменных: \[ a' = a - 1, \quad b' = b - 1, \quad c' = c - 1 \] Тогда: \[ a' + b' + c' = 1, \quad a', b', c' \geq 0 \] Количество неотрицательных решений этого уравнения можно найти с помощью формулы "звезда и палочка". В данном случае решений будет: \[ \binom{1 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{3}{2} = 3 \] Теперь нам нужно выяснить, сколько способов выбрать два горшка из каждого типа (где \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)): 1. \( (a, b) \) - 1 лягушка, 2 лягушки (1, 2) 2. \( (b, c) \) - 1 лягушка, 2 лягушки (2, 1) 3. \( (c, a) \) - 1 лягушка, 2 лягушки (1, 2) Для каждого вида выбора нужно рассмотреть, сколько горшков подходит под каждую категорию: - Выбор 2 горшка с одной лягушкой и 2 лягушками. Количество таких пар составит: - Лягушка в горшке с \(1\) лягушкой (первая) и горшок с (стрелка будет на 2, или 1). Итак, можем пробежаться по всем способам и найденные варианты определим через: - Каждая пара также должна быть выбрана с перестановкой, учитывая порядок. Итак, рассматривая различные варианты, найдём числовое значение выброски. Мы получили: - 30 пар с (1,2) => Мы находим: Общее количество способов: \[ \boxed{90} \]