По кругу расставлены девяносто горшков. В каждом из горшков сидит хотя бы одна лягушка, и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки, сколькими…

Дан массив горшков, каждый из которых содержит лягушек. Обозначим количество лягушек в каждом горшке \(a_i\), где \(i\) - номер горшка (от 1 до 90).

Из условия задачи следует, что в любых трех подряд стоящих горшках суммарно 4 лягушки, то есть: \[ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4, \quad \forall i \in \{1, 2, \ldots, 90\} \]

Поскольку горшки расположены по кругу, для 90 горшков мы можем переписать это условие для последующих наборов: \[ a_{90} + a_1 + a_2 = 4, \quad a_{89} + a_{90} + a_1 = 4, \quad \ldots \]

Теперь обозначим количество лягушек в каждом горшке:

• \(a_1 = x_1\)
• \(a_2 = x_2\)
• \(a_3 = x_3\)

По условию, нам известно следующее: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 4 \] Для следующего тройки: \[ x_2 + x_3 + x_4 = 4 \] Это дает: \[ x_4 = 4 - x_2 - x_3 = x_1 \] Аналогично, мы можем вывести, что: \[ x_5 = x_2, \quad x_6 = x_3, \quad x_7 = x_1, \quad \ldots \]

В результате, последовательность будет периодической с периодом 3, т.е:

• \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \ldots

Поскольку всего 90 горшков (90 делится на 3), наши значения \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) будут повторяться 30 раз.

Обозначим количество лягушек в горшках как:

• \(x_1 = a\)
• \(x_2 = b\)
• \(x_3 = c\)

При этом: \[ a + b + c = 4, \quad \text{где } a, b, c \geq 1 \]

Чтобы решить данное уравнение, сделаем замену переменных: \[ a' = a - 1, \quad b' = b - 1, \quad c' = c - 1 \] Тогда: \[ a' + b' + c' = 1, \quad a', b', c' \geq 0 \] Количество неотрицательных решений этого уравнения можно найти с помощью формулы "звезда и палочка". В данном случае решений будет: \[ \binom{1 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{3}{2} = 3 \]

Теперь нам нужно выяснить, сколько способов выбрать два горшка из каждого типа (где \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)):

1. \( (a, b) \) - 1 лягушка, 2 лягушки (1, 2)
2. \( (b, c) \) - 1 лягушка, 2 лягушки (2, 1)
3. \( (c, a) \) - 1 лягушка, 2 лягушки (1, 2)

Для каждого вида выбора нужно рассмотреть, сколько горшков подходит под каждую категорию:

• Выбор 2 горшка с одной лягушкой и 2 лягушками.

Количество таких пар составит:

• Лягушка в горшке с \(1\) лягушкой (первая) и горшок с (стрелка будет на 2, или 1).

Итак, можем пробежаться по всем способам и найденные варианты определим через:

• Каждая пара также должна быть выбрана с перестановкой, учитывая порядок.

Итак, рассматривая различные варианты, найдём числовое значение выброски. Мы получили:

• 30 пар с (1,2) => Мы находим:

Общее количество способов: \[ \boxed{90} \]