Рассмотрим новую операцию, обозначенную как ( a * b = (a - 1)(b + 1) ). У нас есть два уравнения:
( a * b = 30 ), что означает:
[
(a - 1)(b + 1) = 30
]
( b * a = 40 ), что означает:
[
(b - 1)(a + 1) = 40
]
Теперь разложим каждое уравнение и выразим его в явном виде.
Для первого уравнения:
[
(a - 1)(b + 1) = ab + a - b - 1 = 30
]
То есть:
[
ab + a - b - 1 = 30 \implies ab + a - b = 31
]
Для второго уравнения:
[
(b - 1)(a + 1) = ba + b - a - 1 = 40
]
То есть:
[
ba + b - a - 1 = 40 \implies ab + b - a = 41
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( ab + a - b = 31 )
- ( ab + b - a = 41 )
Теперь из первого уравнения выразим ( ab ):
[
ab = 31 + b - a
]
Подставим это значение во второе уравнение:
[
31 + b - a + b - a = 41
]
Упростим это:
[
31 + 2b - 2a = 41 \implies 2b - 2a = 10 \implies b - a = 5
]
То есть:
[
b = a + 5
]
Теперь подставим ( b = a + 5 ) обратно в любое из уравнений. Используем первое:
[
(a - 1)((a + 5) + 1) = 30
]
Упрощаем:
[
(a - 1)(a + 6) = 30
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + 6a - a - 6 = 30 \implies a^2 + 5a - 36 = 0
]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169
]
Так как дискриминант положительный, у нас два корня:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2}
]
Решения дадут:
- ( a_1 = \frac{8}{2} = 4 )
- ( a_2 = \frac{-18}{2} = -9 ) (отрицательное значение, возможно, не подходит)
Теперь найдем ( b ):
При ( a = 4 ):
[
b = 4 + 5 = 9
]
Сумма:
[
a + b = 4 + 9 = 13
]
При ( a = -9 ):
[
b = -9 + 5 = -4
]
Сумма:
[
a + b = -9 + (-4) = -13
]
Таким образом, все возможные варианты для ( a + b ):
Ответ:
- 13
- -13