Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=30, а b a=40. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Рассмотрим новую операцию, обозначенную как \( a * b = (a - 1)(b + 1) \). У нас есть два уравнения:
\( a * b = 30 \), что означает: \[ (a - 1)(b + 1) = 30 \]
\( b * a = 40 \), что означает: \[ (b - 1)(a + 1) = 40 \]
Теперь разложим каждое уравнение и выразим его в явном виде.
Для первого уравнения: \[ (a - 1)(b + 1) = ab + a - b - 1 = 30 \] То есть: \[ ab + a - b - 1 = 30 \implies ab + a - b = 31 \]
Для второго уравнения: \[ (b - 1)(a + 1) = ba + b - a - 1 = 40 \] То есть: \[ ba + b - a - 1 = 40 \implies ab + b - a = 41 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( ab + a - b = 31 \)
- \( ab + b - a = 41 \)
Теперь из первого уравнения выразим \( ab \): \[ ab = 31 + b - a \]
Подставим это значение во второе уравнение: \[ 31 + b - a + b - a = 41 \] Упростим это: \[ 31 + 2b - 2a = 41 \implies 2b - 2a = 10 \implies b - a = 5 \] То есть: \[ b = a + 5 \]
Теперь подставим \( b = a + 5 \) обратно в любое из уравнений. Используем первое: \[ (a - 1)((a + 5) + 1) = 30 \] Упрощаем: \[ (a - 1)(a + 6) = 30 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + 6a - a - 6 = 30 \implies a^2 + 5a - 36 = 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]
Так как дискриминант положительный, у нас два корня: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2} \]
Решения дадут:
- \( a_1 = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( a_2 = \frac{-18}{2} = -9 \) (отрицательное значение, возможно, не подходит)
Теперь найдем \( b \):
При \( a = 4 \): \[ b = 4 + 5 = 9 \] Сумма: \[ a + b = 4 + 9 = 13 \]
При \( a = -9 \): \[ b = -9 + 5 = -4 \] Сумма: \[ a + b = -9 + (-4) = -13 \]
Таким образом, все возможные варианты для \( a + b \):
- 13
- -13
Ответ:
- 13
- -13
