Чтобы решить задачу, начнём с уточнения условий. Артем записал шестизначное число, которое можно записать в виде (ABCDEF), где (ABC) и (DEF) – это трицифровые последовательные числа. Это означает, что (ABC) должно быть меньше (DEF).
Пусть (ABC = n), тогда (DEF) будет (n + 1) или (n + 2). Таким образом, возможные комбинации будут следующими:
- (ABC = n) и (DEF = n + 1)
- (ABC = n) и (DEF = n + 2)
Теперь нам нужно проверить, что данное шестизначное число (ABCDEF = 1000n + (n + k)), где (k) равен 1 или 2, делится на 501.
Обозначим шестизначное число как:
- Если (DEF = n + 1):
[
1000n + (n + 1) = 1001n + 1
]
- Если (DEF = n + 2):
[
1000n + (n + 2) = 1001n + 2
]
Теперь мы ищем такие (n), чтобы (1001n + k) (где (k = 1) или (2)) делилось на 501.
Так как (1001 \equiv 499 \mod 501), то нам надо рассмотреть:
[
499n + k \equiv 0 \mod 501
]
Для (k = 1):
[
499n + 1 \equiv 0 \mod 501 \implies 499n \equiv -1 \equiv 500 \mod 501
]
Для (k = 2):
[
499n + 2 \equiv 0 \mod 501 \implies 499n \equiv -2 \equiv 499 \mod 501
]
1) Рассмотрим случай (k = 1):
Найдём (n):
[
n \equiv 500 \cdot (499^{-1}) \mod 501
]
Для нахождения обратного элемента (499^{-1}) по модулю 501 можно использовать расширенный алгоритм Евклида. Скажем, что (499^{-1} \equiv 1 \mod 501), тогда:
[
n \equiv 500 \mod 501
]
Таким образом, (n) может принимать значения (500 + 501k) (где (k) - целое число). Проверяем (n = 500) (три старших разряда):
[
ABC = 500, \quad DEF = 501 \implies 500501
]
2) Рассмотрим случай (k = 2):
Аналогично находим:
[
n \equiv 499 \cdot (499^{-1}) \mod 501
]
При том же (499^{-1} \equiv 1):
[
n \equiv 499 \mod 501
]
Теперь (n) может быть (499 + 501m). Проверяем (n = 499):
[
ABC = 499, \quad DEF = 500 \implies 499500
]
Таким образом, подходящие числа, которые мог записать Артем:
Это все удовлетворяющие условиям задачи числа.