Чтобы найти расстояние AB, умноженное на √5, начнем с понимания расположения кругов.
Имеем три круга радиусами 1, 2 и 3, которые касаются друг друга внешним образом. Круги касаются в следующих точках:
- Круги радиусом 1 и 2 касаются в точке A.
- Круги радиусом 2 и 3 касаются в точке B.
Для удобства, обозначим центры кругов:
- Центр круга с радиусом 1 — O1.
- Центр круга с радиусом 2 — O2.
- Центр круга с радиусом 3 — O3.
Нам известно, что каждый из кругов касается своего соседа, поэтому расстояния между центрами кругов можно определить как сумму их радиусов:
- Расстояние между O1 и O2 равно 1 + 2 = 3.
- Расстояние между O2 и O3 равно 2 + 3 = 5.
Теперь мы можем расположить круги на координатной плоскости для удобства. Пусть:
- O1 находится в точке (0, 0).
- O2 находится на оси x, в точке (3, 0) — так как расстояние от O1 до O2 равно 3.
- Для O3, учитывая, что его цент находится на расстоянии 5 от O2, нам нужно найти координаты O3.
Рассмотрим треугольник O2O3O1:
- O2 находится в (3, 0).
- Расстояние O2 до O3 равно 5, следовательно, O3 может находиться в точках, удовлетворяющих уравнению (x - 3)² + y² = 5².
Решим это уравнение, подставив значение радиуса 5:
(x - 3)² + y² = 25.
Теперь найдем расстояние AB:
- Точка A — это точка касания кругов радиуса 1 и 2. Она находится на линии, соединяющей O1 и O2, в координатах (1, 0) (так как круг радиуса 1 находится в точке (0, 0) и его радиус равен 1).
- Точка B — это точка касания кругов радиуса 2 и 3. Поскольку мы нашли, что O3 находится на расстоянии 5 от O2, пусть O3 будет тривиально выбран на оси x в (3, 4) (например).
Теперь находим расстояние AB, которое можно рассчитать по формуле расстояния между двумя точками A(1, 0) и B(3, 4):
AB = √[(3 - 1)² + (4 - 0)²] = √[2² + 4²] = √[4 + 16] = √20 = 2√5.
Теперь умножаем это расстояние на √5:
AB × √5 = (2√5) × √5 = 2 × 5 = 10.
Таким образом, расстояние AB, умноженное на √5, равно 10.