Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
- Обозначим количество детей на празднике как ( n ).
- Обозначим возраста детей: пусть самый старший ребёнок будет ( n )-ым, а младший - 1-ым.
Каждый старший ребёнок раздаёт 2 конфеты всем детям младше себя, берёт одну конфету себе и кладёт одну конфету в мешок за каждого старшего ребёнка.
Таким образом:
- Если старший ребёнок раздаёт 2 конфеты каждому из ( n-1 ) младших детей, то он раздаёт ( 2(n-1) ) конфет.
- Он берёт одну конфету себе.
- Если всего детей ( n ), то старших детей меньше: ( n-1 ). Следовательно, он кладёт ( (n-1) ) конфет обратно в мешок.
Итак, чистый расход конфет для каждого старшего ребёнка будет:
[ 2(n-1) - 1 + (n-1) = 2(n-1) - 1 + (n-1) = 3(n-1) - 1. ]
Теперь, если мы рассмотрим всех детей, то будем иметь:
[ \text{Общее количество конфет, раздаваемых старшими детьми} = \sum_{k=1}^{n-1} 2k. ]
Однако это сложный путь. Попробуем другой подход.
Общее количество конфет до начала раздачи:
[ C_0 = 200. ]
Общее количество конфет в мешке после раздачи:
[ C_1 = 80. ]
Итак, всего раздано:
[ C_0 - C_1 = 200 - 80 = 120 \text{ конфет.} ]
Каждый из ( n ) детей, начиная со старшего, раздаёт по 2 конфеты фиксированному числу младших детей, что в итоге составляет 120 конфет.
Теперь мы знаем, что раздача 120 конфет происходит, когда каждый старший ребёнок раздаёт 2 конфеты, и каждый раздаёт только тем, кто младше его.
Таким образом, мы постараемся понять, как количество разданных конфет зависит от числа детей. Если проанализировать, то можно заметить, что:
- Каждый старший ребёнок, начиная с ( n-1 ), раздаёт 2 конфеты всем младшим (всего младших ( n-1 ) детей).
Допустим, у нас ( n ) детей. Нам нужно это учесть при подсчёте, чтобы понять, сколько конфет было раздано.
Допустим, что старший — это 1 ребёнок, тогда 2 конфеты × ( n-1 ) детей. Мы пробуем разные ( n ) и видим, что:
- 1 ребёнок старше – 0 раздано.
- 2 - 2.
- 3 - 4.
- 4 - 6 и так далее.
Используя сумму, можно вычесть и найти, что ( n(n-1) = 120/2 = 60 ).
Решив, получаем значение ( n(n-1) = 60 ).
Теперь мы пробуем найти такие ( n ):
- Для ( n = 12 ), имеем ( 12 \times 11 = 132 ) (больше 120).
- Для ( n = 11 ), ( 11 \times 10 = 110 ) (меньше 120).
- Для ( n = 10 ) - ( 10 \times 9 = 90 ).
Таким образом, для всех детей на празднике будет 10. Суммируя, мы понимаем, что общее количество детей – это 10.
Итак, на празднике было 10 детей!