Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник где все дети были разного возраста каждый из детей начиная со старшего сделал следующее раздал из мешка по две конфеты каждому ребёнку…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество детей на празднике как \( n \).
2. Обозначим возраста детей: пусть самый старший ребёнок будет \( n \)-ым, а младший - 1-ым.

Каждый старший ребёнок раздаёт 2 конфеты всем детям младше себя, берёт одну конфету себе и кладёт одну конфету в мешок за каждого старшего ребёнка.

Таким образом:

• Если старший ребёнок раздаёт 2 конфеты каждому из \( n-1 \) младших детей, то он раздаёт \( 2(n-1) \) конфет.
• Он берёт одну конфету себе.
• Если всего детей \( n \), то старших детей меньше: \( n-1 \). Следовательно, он кладёт \( (n-1) \) конфет обратно в мешок.

Итак, чистый расход конфет для каждого старшего ребёнка будет: \[ 2(n-1) - 1 + (n-1) = 2(n-1) - 1 + (n-1) = 3(n-1) - 1. \]

Теперь, если мы рассмотрим всех детей, то будем иметь: \[ \text{Общее количество конфет, раздаваемых старшими детьми} = \sum_{k=1}^{n-1} 2k. \]

Однако это сложный путь. Попробуем другой подход.

Общее количество конфет до начала раздачи: \[ C_0 = 200. \] Общее количество конфет в мешке после раздачи: \[ C_1 = 80. \] Итак, всего раздано: \[ C_0 - C_1 = 200 - 80 = 120 \text{ конфет.} \]

Каждый из \( n \) детей, начиная со старшего, раздаёт по 2 конфеты фиксированному числу младших детей, что в итоге составляет 120 конфет.

Теперь мы знаем, что раздача 120 конфет происходит, когда каждый старший ребёнок раздаёт 2 конфеты, и каждый раздаёт только тем, кто младше его.

Таким образом, мы постараемся понять, как количество разданных конфет зависит от числа детей. Если проанализировать, то можно заметить, что:

• Каждый старший ребёнок, начиная с \( n-1 \), раздаёт 2 конфеты всем младшим (всего младших \( n-1 \) детей).

Допустим, у нас \( n \) детей. Нам нужно это учесть при подсчёте, чтобы понять, сколько конфет было раздано.

Допустим, что старший — это 1 ребёнок, тогда 2 конфеты × \( n-1 \) детей. Мы пробуем разные \( n \) и видим, что:

• 1 ребёнок старше – 0 раздано.
• 2 - 2.
• 3 - 4.
• 4 - 6 и так далее.

Используя сумму, можно вычесть и найти, что \( n(n-1) = 120/2 = 60 \).

Решив, получаем значение \( n(n-1) = 60 \).

Теперь мы пробуем найти такие \( n \):

• Для \( n = 12 \), имеем \( 12 \times 11 = 132 \) (больше 120).
• Для \( n = 11 \), \( 11 \times 10 = 110 \) (меньше 120).
• Для \( n = 10 \) - \( 10 \times 9 = 90 \).

Таким образом, для всех детей на празднике будет 10. Суммируя, мы понимаем, что общее количество детей – это 10.

Итак, на празднике было 10 детей!