Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 9. Сколько детей было на празднике?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество детей как \( n \). Каждому ребенку старшему раздавались конфеты младшим.
2. Пусть предположим, что дети были обозначены как \( D_1, D_2, \ldots, D_n \), где \( D_1 \) — самый старший ребенок, а \( D_n \) — младший. Каждый ребенок получает по 2 конфеты от старшего, и старший берет одну конфету себе.
3. Затем старший добавляет по одной конфете в мешок для всех детей старше себя.
4. Когда Дед Мороз пришел, у него было 100 конфет, а ушел он с 9, значит, он отдал 100 - 9 = 91 конфету.

Теперь рассмотрим процесс раздачи конфет:

Если самый старший ребенок сделал следующее:

• Раздал 2 конфеты всем младшим. Их количество - \( n - 1 \) (так как он не раздает себе). То есть он отдал \( 2(n - 1) \) конфет.
• Взяв одну конфету для себя, у него остается \( 100 - 2(n - 1) - 1 = 100 - 2n + 2 - 1 = 101 - 2n \) конфет.
• Потом он положил в мешок по одной конфете для каждого старшего. Т.к. он сам старший, то он не добавляет себе, и поэтому он не добавляет ни одной конфеты.

Следовательно, с каждого следующего ребенка, который старше, он будет делать то же самое.

Если в конечном итоге у Деда Мороза осталось 9 конфет, то:

\[ 91 = 2 \cdot \text{(всех младших)} + (n - k) \]

где \( k \) — количество старших детей. Каждому старшему отдадут конфеты и еще оставшаяся часть от старших детей.

Для нахождения количества детей можно заметить, что:

• Если старших детей больше, то это расширяет число маленьких. Сделаем несколько подстановок и пересчитаем.

Если предположим, что всего детей \( n \), у нас есть 91 конфета. Из них 9 остались. Таким образом, количество детей \( n \) мы можем определить через \( 2(n - 1) - (n - 1) = 91 \).

В итоге:

1. Для нахождения количества детей \( n \), мы исследуем уравнение \( 91 = 2(n-1) + (n-k) \).

На этом этапе вы можете подбирать значения \( n \), чтобы найти такой порядок, который соответствует условию задачи.

Обобщая, 13 детей должны присутствовать на празднике, потому что именно при таком числе нам необходимо 91 итогово для раздачи конфет.

Таким образом, на празднике было 13 детей.