Для решения задачи давайте сначала определим общую продолжительность матча. Каждая игра состоит из 3 периодов (гаймов) по 16 минут, следовательно:
[
3 , \text{гайма} \times 16 , \text{минут} = 48 , \text{минут}.
]
На площадке в любой момент должно быть 5 игроков. Общее количество игроков, которые выходили на площадку в этот матч, равно 11. Если мы обозначим время, проведенное на площадке каждым из 10 игроков (кроме капитана) как ( t ), то капитан провел на площадке больше времени, чем каждый из остальных.
Итак, давайте представим, что капитан проведет на площадке ( t + x ) минут, где ( x ) - это время, на которое капитан провел больше, чем остальные игроки.
Общее время, проведенное всеми игроками на площадке, можно выразить следующим образом:
[
10t + (t + x) = 11t + x.
]
Поскольку общее время игры составляет 48 минут, мы можем записать уравнение:
[
11t + x = 48.
]
Теперь нам нужно вспомнить, что замены происходят так, что все 10 игроков (кроме капитана) провели одинаковое время на площадке. Это значит, что время ( t ) является равным для всех 10 игроков и получается, что капитан играл на ( x ) минут дольше.
Теперь можно выразить переменную ( x ) через ( t ):
[
x = 48 - 11t.
]
С учетом того, что время замены происходит на равных началах, важно, чтобы ( x ) было положительным. Максимальное значение ( t ) может быть найдено, когда:
[
48 - 11t > 0 \Rightarrow 48 > 11t \Rightarrow t < \frac{48}{11} \approx 4.36 , \text{минуты}.
]
Таким образом, максимальное целое значение для ( t = 4 ).
Подставляя обратно, получаем:
[
x = 48 - 11 \cdot 4 = 48 - 44 = 4 , \text{минуты}.
]
Теперь давайте найдем время, проведенное капитаном на площадке:
[
t + x = 4 + 4 = 8 , \text{минут.}
]
Итак, капитан провел на площадке 8 минут.