Артём записал на доске шестизначное число такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют меньшее из чисел).…
Артём записал на доске шестизначное число такое, что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют меньшее из чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 501. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты.
Для решения задачи сначала запишем шестизначное число в виде \( ABCDEF \), где \( ABC \) – это три старших разряда, а \( DEF \) – три младших.
Согласно условию, \( ABC \) и \( DEF \) должны образовывать последовательные три цифры. Это значит, что если взять трёхзначное число \( ABC \), то \( DEF \) должно быть равно \( ABC + 1 \). Таким образом, можно записать:
- \( ABC = N \)
- \( DEF = N + 1 \)
Следовательно, полное шестизначное число можно выразить как:
\[ 100000N + (N + 1) = 1000N + 1 \]
Теперь, по условию, это число также должно делиться на 501. Для этого сначала определим границы значений \( N \). \( N \) должно быть трёхзначным, что значит:
\[ 100 \leq N < 1000 \]
Таким образом, шестизначное число можно записать как:
\[ 1000N + 1 \]
Для поиска всех значений \( N \), для которых \( 1000N + 1 \) делится на 501, можем решить уравнение:
\[ 1000N + 1 \equiv 0 \mod 501 \] или \[ 1000N \equiv -1 \mod 501 \]
Сначала найдем значение \( 1000 \mod 501 \):
\[ 1000 \div 501 \approx 1.996 \quad \Rightarrow \quad 1000 - 1 \cdot 501 = 499 \] Таким образом, \( 1000 \equiv 499 \mod 501 \).
Теперь у нас есть
\[ 499N \equiv -1 \mod 501 \] или \[ 499N \equiv 500 \mod 501 \]
Для решения этого уравнения нужно найти обратное значение для 499 по модулю 501. Поскольку 499 и 501 взаимно простые, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида или просто вручную проверить числа, чтобы найти такое \( k \), что:
\[ 499k \equiv 1 \mod 501 \]
Согласно обратным вычислениям, находим, что:
\[ k = 502 \Rightarrow 499 \cdot 502 \mod 501 = 1 \]
Теперь умножим обе стороны нашего уравнения на 502:
\[ N \equiv 500 \cdot 502 \mod 501 \]
Так как \( 500 \cdot 502 \mod 501 = 500 \):
\[ N \equiv 500 \mod 501 \] Другими словами, \( N = 500 \) является подходящим числом. Таким образом:
- \( ABC = 500 \)
- \( DEF = 501 \)
Итак, Артём мог записать число 500501. Проверяем, делится ли оно на 501:
\[ 500501 \div 501 = 999 \]
Это число действительно делится на 501.
Таким образом, единственный вариант, который подходит под условия задачи, это число:
500501.
