Для решения задачи сначала запишем шестизначное число в виде ( ABCDEF ), где ( ABC ) – это три старших разряда, а ( DEF ) – три младших.
Согласно условию, ( ABC ) и ( DEF ) должны образовывать последовательные три цифры. Это значит, что если взять трёхзначное число ( ABC ), то ( DEF ) должно быть равно ( ABC + 1 ). Таким образом, можно записать:
- ( ABC = N )
- ( DEF = N + 1 )
Следовательно, полное шестизначное число можно выразить как:
[ 100000N + (N + 1) = 1000N + 1 ]
Теперь, по условию, это число также должно делиться на 501. Для этого сначала определим границы значений ( N ). ( N ) должно быть трёхзначным, что значит:
[ 100 \leq N < 1000 ]
Таким образом, шестизначное число можно записать как:
[ 1000N + 1 ]
Для поиска всех значений ( N ), для которых ( 1000N + 1 ) делится на 501, можем решить уравнение:
[ 1000N + 1 \equiv 0 \mod 501 ]
или
[ 1000N \equiv -1 \mod 501 ]
Сначала найдем значение ( 1000 \mod 501 ):
[ 1000 \div 501 \approx 1.996 \quad \Rightarrow \quad 1000 - 1 \cdot 501 = 499 ]
Таким образом, ( 1000 \equiv 499 \mod 501 ).
Теперь у нас есть
[ 499N \equiv -1 \mod 501 ]
или
[ 499N \equiv 500 \mod 501 ]
Для решения этого уравнения нужно найти обратное значение для 499 по модулю 501. Поскольку 499 и 501 взаимно простые, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида или просто вручную проверить числа, чтобы найти такое ( k ), что:
[ 499k \equiv 1 \mod 501 ]
Согласно обратным вычислениям, находим, что:
[ k = 502 \Rightarrow 499 \cdot 502 \mod 501 = 1 ]
Теперь умножим обе стороны нашего уравнения на 502:
[ N \equiv 500 \cdot 502 \mod 501 ]
Так как ( 500 \cdot 502 \mod 501 = 500 ):
[ N \equiv 500 \mod 501 ]
Другими словами, ( N = 500 ) является подходящим числом. Таким образом:
- ( ABC = 500 )
- ( DEF = 501 )
Итак, Артём мог записать число 500501. Проверяем, делится ли оно на 501:
[ 500501 \div 501 = 999 ]
Это число действительно делится на 501.
Таким образом, единственный вариант, который подходит под условия задачи, это число:
500501.