Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (х; у), удовлетворяющих соотношению ||х| - |y|| = 2, а Ваня нарисовал синим фломастером стороны квадрата с вершинами в точках (6; 0), (-6; 0) (0;-6), (0; 6). Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями.

Аня нарисовала точки, удовлетворяющие условию \( ||x| - |y|| = 2 \). Это условие указывает на два случая:

1. \( |x| - |y| = 2 \)
2. \( |y| - |x| = 2 \)

Разберем первый случай:

1. \( x - y = 2 \) (задача для первого квадранта)
2. \( x + y = 2 \) (задача для второго квадранта)
3. \( -x + y = 2 \) (задача для третьего квадранта)
4. \( -x - y = 2 \) (задача для четвертого квадранта)

Теперь рассмотрим второй случай:

1. \( y - x = 2 \) (первая четверть)
2. \( y + x = 2 \) (вторая четверть)
3. \( -y + x = 2 \) (третья четверть)
4. \( -y - x = 2 \) (четвертая четверть)

Таким образом, мы получаем линии, которые образуют ромб на координатной плоскости. Углы этого ромба находятся в точках (2, 0), (0, 2), (-2, 0) и (0, -2).

Теперь рассмотрим квадрат, который нарисовал Ваня. Вершины квадрата в точках (6, 0), (-6, 0), (0, -6) и (0, 6) образуют квадрат с центром в начале координат (0, 0) и стороной 12.

Теперь нам нужно найти пересечение фигур. Ромб Ани будет находиться внутри квадрата Вани. Углы ромба находятся в пределах квадрата, и все линии ромба и квадрат пересекаются. Чтобы найти количество точек пересечения, мы можем заметить, что ромб состоит из 4 отрезков, и каждый отрезок пересекается с двумя сторонами квадрата.

Следовательно, точки, которые были покрашены и в красный, и в синий цвет, находятся в углах ромба, что дает 4 точки: (2, 0), (0, 2), (-2, 0) и (0, -2).

Таким образом, окончательный ответ: 4 точки.