Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей начиная со старшего сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребенку младше себя, взял одну конфету себе, из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 80. Сколько детей было на празднике?

Для решения задачи давайте обозначим количество детей, участвовавших в празднике, как \( n \). Пусть самый старший ребенок - это \( n \)-й.

Каждый ребенок раздает 2 конфеты всем детям, младше себя, что означает, что старший ребенок раздает 2 конфеты (по 2 конфеты каждому) всем детям от 1 до \( n-1 \). Таким образом, старший ребенок раздаст \( 2 \cdot (n - 1) \) конфет.

Далее, старший ребенок берет одну конфету себе, что добавляет еще 1 к утрате конфет.

С учетом того, что старший ребенок также добавляет по одной конфете для каждого ребенка старше себя (в данном случае таковых нет), он не добавляет ничего в мешок.

Теперь для каждого следующего ребенка, начиная со второго, будет раздаваться 2 конфеты каждому младшему ребенку и также прибавляться по одной конфете каждому старшему.

Проанализируем процесс:

1. Самый старший ребенок (n-й) отдает: \( 2(n-1) \) + 1 себе.
2. Каждый следующий, с \( n-1 \) по 1, будет раздавать 2 конфеты оставшимся детям и добавлять по одной для старших.

Для подсчета, давайте рассчитаем всё от общего количества конфет, которое осталось.

Исходя из условия задачи, у деда Мороза изначально было 200 конфет, и к моменту ухода осталось 80, значит он раздал \( 200 - 80 = 120 \) конфет.

Посмотрим, сколько конфет было потрачено по формуле:

Каждый ребенок раздает 2 конфеты всем младшим и берет 1 себе. С учетом \( n \) детей, видно, что на каждую пару старший - младший теряется 2 конфеты.

Обозначим общее количество конфет, отданных всеми детьми, как \( K \):

\[ K = 2 \cdot \text{число младших} + \text{число старших} = 2((n-1) + (n-2) + ... + 1) = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)n. \]

Сравнивая с потерянными 120 конфетами, получаем уравнение:

\[ (n-1)n = 120. \]

Решаем это уравнение:

\[ n^2 - n - 120 = 0. \]

При использовании дискриминанта для решения квадратного уравнения, имеем:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 1 + 480 = 481. \]

Теперь найдём корни:

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{481}}{2}. \]

Корень из 481 примерно равен 21.93. Таким образом, имеем два решения:

\[ n = \frac{1 + 21.93}{2} \approx 11.465 \quad \text{и} \quad n = \frac{1 - 21.93}{2} \text{(отрицательное и не подходит)}. \]

Округляя до целого, мы получаем \( n = 12 \) детей.

Таким образом, на празднике было 12 детей.