Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей начиная со старшего сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребенку младше себя, взял одну конфету себе, из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда дед Мороз уходил, из 200 конфет у него в мешке осталось только 80. Сколько детей было на празднике?

Для решения задачи давайте обозначим количество детей, участвовавших в празднике, как \( n \). Пусть самый старший ребенок - это \( n \)-й. Каждый ребенок раздает 2 конфеты всем детям, младше себя, что означает, что старший ребенок раздает 2 конфеты (по 2 конфеты каждому) всем детям от 1 до \( n-1 \). Таким образом, старший ребенок раздаст \( 2 \cdot (n - 1) \) конфет. Далее, старший ребенок берет одну конфету себе, что добавляет еще 1 к утрате конфет. С учетом того, что старший ребенок также добавляет по одной конфете для каждого ребенка старше себя (в данном случае таковых нет), он не добавляет ничего в мешок. Теперь для каждого следующего ребенка, начиная со второго, будет раздаваться 2 конфеты каждому младшему ребенку и также прибавляться по одной конфете каждому старшему. Проанализируем процесс: 1. Самый старший ребенок (n-й) отдает: \( 2(n-1) \) + 1 себе. 2. Каждый следующий, с \( n-1 \) по 1, будет раздавать 2 конфеты оставшимся детям и добавлять по одной для старших. Для подсчета, давайте рассчитаем всё от общего количества конфет, которое осталось. Исходя из условия задачи, у деда Мороза изначально было 200 конфет, и к моменту ухода осталось 80, значит он раздал \( 200 - 80 = 120 \) конфет. Посмотрим, сколько конфет было потрачено по формуле: Каждый ребенок раздает 2 конфеты всем младшим и берет 1 себе. С учетом \( n \) детей, видно, что на каждую пару старший - младший теряется 2 конфеты. Обозначим общее количество конфет, отданных всеми детьми, как \( K \): \[ K = 2 \cdot \text{число младших} + \text{число старших} = 2((n-1) + (n-2) + ... + 1) = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)n. \] Сравнивая с потерянными 120 конфетами, получаем уравнение: \[ (n-1)n = 120. \] Решаем это уравнение: \[ n^2 - n - 120 = 0. \] При использовании дискриминанта для решения квадратного уравнения, имеем: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 1 + 480 = 481. \] Теперь найдём корни: \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{481}}{2}. \] Корень из 481 примерно равен 21.93. Таким образом, имеем два решения: \[ n = \frac{1 + 21.93}{2} \approx 11.465 \quad \text{и} \quad n = \frac{1 - 21.93}{2} \text{(отрицательное и не подходит)}. \] Округляя до целого, мы получаем \( n = 12 \) детей. Таким образом, на празднике было **12 детей**.