Давайте разберем задачу, которая у нас есть. У нас есть 4 задачи, и каждая из них может быть оценена в 0, 1, 3 или 4 балла. Нам нужно найти наибольшее количество участников, которые могут набрать различные комбинации баллов, при условии, что никто из участников не набрал одинаковое количество баллов хотя бы по двум задачам.
Для каждой задачи возможные оценки - это 0, 1, 3 и 4. Таким образом, для каждой задачи у нас есть 4 возможных балла. Так как у нас 4 задачи, общее количество возможных комбинаций оценок можно вычислить как:
[
4^{4} = 256
]
Теперь нам необходимо учитывать условие, что участники не могут иметь одинаковые баллы хотя бы по двум задачам. Это подразумевает, что для каждого участника оценки по каждой задаче должны быть уникальными.
Мы можем рассматривать каждую задачу как отдельную переменную, где каждая из 4 задач может принимать одно из 4 значений. Для того чтобы подсчитать, какие комбинации вам подойдут, можем воспользоваться уникальными значениями для каждой задачи.
Если мы применим принцип включения-исключения:
- Для каждой задачи у нас есть 4 возможных варианта.
- Если учитывать уникальность, то не может быть двух участников с одинаковыми значениями в отдельных задачах.
Так как задач 4, и каждая может принимать 4 различных значения, максимальная уникальная комбинация оценок, где каждому участнику соответствуют свои уникальные комбинации по 4 задачам, легко рассчитывается как:
[
n! / (n-k)!
]
Где (n) — количество возможных баллов (в данном случае 4), и (k) — количество задач (также 4). Однако нам нужно учитывать, что тот же набор баллов не может повторяться.
В итоге, максимальное количество участников, которые могут набрать уникальные баллы по всем задачам, равно количеству всех возможных уникальных комбинаций оценок, что составляет 256.
Таким образом, максимальное возможное количество участников, которые могли бы присутствовать на Олимпиаде, – 256.