на Олимпиаде были предложены 4 задачи, каждая из которых оценивались в 0,1,2 или 3 балла. Оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковые число баллов хотя бы по двум задачам. Какое наибольшее количество участников имогло быть на Олимпиаде
Для решения этой задачи рассмотрим, сколько различных комбинаций оценок могут быть присвоены участникам олимпиады.
Каждая из 4 задач может быть оценена в 0, 1, 2 или 3 балла. Таким образом, для каждой задачи существует 4 возможных оценки. Поскольку у нас 4 задачи, общее количество комбинаций оценок можно вычислить как:
\[ 4^4 = 256. \]
Однако в условии задачи сказано, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое количество баллов хотя бы по двум задачам. Это означает, что оценки по каждой задаче должны быть уникальными среди участников.
Из 256 возможных комбинаций оценок мы должны учитывать, что для каждого участника все четыре балла должны быть различными. Для оценки каждого участника нужно выбрать 4 уникальные оценки из 4 возможных (0, 1, 2, 3).
Зная это, можно заметить, что для данной задачи лучшим вариантом будет зафиксировать для участников определенные баллы по задачам в уникальном порядке, например:
- 1 участник может получить (0, 1, 2, 3),
- 2 участник получит (1, 0, 2, 3),
- 3 участник (2, 1, 0, 3), и так далее.
Однако вопрос заключается не в порядке оценок, а в уникальности самих оценок на каждой задаче. Поскольку у нас всего 4 оценок, максимум, что мы можем сделать, это увеличить количество участников, которые могут иметь разные комбинации этих оценок.
Таким образом, максимальное количество участников, которое может участвовать в олимпиаде, состоит из количества всех возможных уникальных наборов оценок. То есть:
* Каждый из 4 участников получает уникальное распределение оценок: все 4 участника могут иметь различные наборы (например, (0,0,0,0), (1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,3,3,3)), но поскольку различия по каждой задаче должны быть уникальными — мы можем прийти к выводу, что максимальное количество участников, которое может пройти при таком условии — это 256.
Итак, наибольшее количество участников, которые могли бы быть на олимпиаде, составляет 256.