Артём записал на доске шестизначное число- такое,что три старших и три младших разряда образуют последовательные трёхзначные числа (старшие разряды образуют меньшее из…

Чтобы найти шестизначное число, которое записал Артём, давайте обозначим его как \( ABCDEF \), где \( ABC \) — это старшая часть числа (первые три цифры), а \( DEF \) — младшая часть (последние три цифры). Условие задачи гласит, что \( ABC \) и \( DEF \) должны быть последовательными трехзначными числами, причём \( ABC < DEF \).

Пусть \( ABC = x \) и \( DEF = x + 1 \). Тогда шестизначное число можно представить в виде:

\[ N = 1000x + (x + 1) = 1001x + 1 \]

Чтобы число \( N \) делилось на 501, запишем условие делимости:

\[ 1001x + 1 \equiv 0 \pmod{501} \]

Это можно упростить до:

\[ 1001x \equiv -1 \pmod{501} \]

Вычислим \( 1001 \mod 501 \):

\[ 1001 = 2 \times 501 + 1 \implies 1001 \equiv 1 \pmod{501} \]

Таким образом, у нас остается:

\[ x \equiv -1 \pmod{501} \]

Это означает, что \( x = 501k - 1 \) для некоторого целого \( k \). Теперь, поскольку \( x \) должно быть трехзначным числом, установим границы для \( x \):

• \( 100 \leq x < 1000 \)

Подставим значение \( x = 501k - 1 \):

1. Для нижней границы:

\[ 501k - 1 \geq 100 \implies 501k \geq 101 \implies k \geq \frac{101}{501} \implies k \geq 1 \text{ (так как } k \text{ должно быть целым)} \]

2. Для верхней границы:

\[ 501k - 1 < 1000 \implies 501k < 1001 \implies k < \frac{1001}{501} \approx 2 \]

Таким образом, возможные значения \( k \) — это 1:

• Если \( k = 1 \): \[ x = 501 \cdot 1 - 1 = 500 \]

Таким образом, получаем:

• \( ABC = 500 \)
• \( DEF = 501 \)

Итак, шестизначное число:

\[ N = 500501 \]

Проверим делимость:

\[ 500501 \div 501 = 999 \]

Это число делится на 501. Теперь, поскольку \( k \) больше 1 даст \( x \) больше чем 1000, то у нас есть только одно подходящее значение для данного условия.

Таким образом, Артём мог записать число:

500501.