Три круга радиусами 1, 2 и 3 попарно касаются друг друг внешним образом. Круги радиусом 1 и радиусом 2 касаются в точке А, а круги радиусом 2 и радиусом 3 - в точке В. Найдите…

Чтобы найти расстояние между центрами кругов, начнем с расположения окружностей на координатной плоскости. Обозначим радиусы окружностей:

• \( r_1 = 1 \) (для первого круга),
• \( r_2 = 2 \) (для второго круга),
• \( r_3 = 3 \) (для третьего круга).

Пусть координаты центров кругов будут следующими:

• \( O_1(0, 0) \) для круга радиусом 1,
• \( O_2(3, 0) \) для круга радиусом 2,
• \( O_3(6, 0) \) для круга радиусом 3.

Центры располагаются на одной прямой, и расстояния между ними равны сумме их радиусов, поскольку они касаются друг друга внешним образом:

1. Расстояние между центрами \( O_1 \) и \( O_2 \): \[ d_{12} = r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 \]

2. Расстояние между центрами \( O_2 \) и \( O_3 \): \[ d_{23} = r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5 \]

Теперь найдем расстояние между точками касания \( A \) и \( B \). Точка \( A \) — это точка касания кругов радиусом 1 и 2, а \( B \) — точка касания кругов радиусом 2 и 3.

Поскольку эти расстояния находятся на оси x, абсолютные значения координат точек будут следующими:

• Координаты точки касания \( A \) (где круги радиусом 1 и 2 касаются) можно найти, выполнением: \[ A_x = O_1 + r_1 = 0 + 1 = 1 \]

• Координаты точки касания \( B \) (где круги радиусом 2 и 3 касаются): \[ B_x = O_2 + r_2 = 3 + 2 = 5 \]

Теперь находим расстояние \( |AB| \): \[ |AB| = |B_x - A_x| = |5 - 1| = 4 \]

Следовательно, искомое значение \( B \), умноженное на \( \sqrt{5} \), равно: \[ |AB| \cdot \sqrt{5} = 4 \cdot \sqrt{5} \]

Таким образом, ответ: \( 4\sqrt{5} \).