Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: • раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; • взял одну конфету себе; • из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 22. Сколько детей было на празднике?

Давайте обозначим количество детей на празднике через \( n \). Пусть возраста детей будут обозначены как \( a_1, a_2, \ldots, a_n \), где \( a_1 \) — старший, а \( a_n \) — младший.

Каждый ребенок, начиная со старшего, раздает 2 конфеты каждому, кто младше его. Это значит, что:

1. Ребенок старшего возраста \( a_1 \) раздает \( 2(n - 1) \) конфет (всем младшим).
2. Он добавляет один конфету себе.
3. Затем он кладет 1 конфету в мешок за каждого, кто старше его, то есть 0 конфет, так как он старший.

Таким образом, на первом шаге у нас:

• Из мешка раздано \( 2(n - 1) \) конфет.
• Взято 1 конфету себе.
• Добавлено 0 в мешок.

Теперь посмотрим на второго ребенка \( a_2 \):

1. Он раздает \( 2(n - 2) \) конфет.
2. Взято 1 конфету себе.
3. Добавлено 1 конфету в мешок (за старшего).

Таким образом, для всех детей это можно записать в общем виде.

Если продолжить эту логику, то для \( i \)-го ребенка, где \( 1 \leq i \leq n \):

• Раздано \( 2(n - i) \) конфет.
• Взято 1 конфету себе.
• Положено \( 1 \) конфету в мешок за каждого старшего (то есть \( i - 1 \) конфет).

Теперь найдем общее количество конфет, которые были разданы и собраны:

Общее количество конфет, которое было в мешке изначально, равно: \[ C = 100 \]

Конфеты, которые он раздал всем: \[ \text{Всего раздано} = \sum_{i=1}^{n} 2(n - i) = 2 [n(n - 1) / 2] = n(n - 1) \]

Количество конфет, которое он взял себе: \[ \text{Всего взято себе} = n \]

Количество конфет, которое он положил в мешок: \[ \text{Всего положено в мешок} = \sum_{i=1}^{n} (i - 1) = \frac{(n - 1)n}{2} \]

Таким образом, у нас есть уравнение для количества конфет: \[ C - n(n - 1) + n - \frac{(n - 1)n}{2} = 22 \] где \( C = 100 \).

Подставим: \[ 100 - n(n - 1) + n - \frac{(n - 1)n}{2} = 22 \]

Упростим: \[ 100 - 22 = n(n - 1) - n + \frac{(n - 1)n}{2} \] \[ 78 = n(n - 1) - n + \frac{(n - 1)n}{2} \]

Умножая на 2, чтобы избавиться от дроби, получаем: \[ 156 = 2n(n - 1) - 2n + (n - 1)n \]

Упрощаем: \[ 156 = 3n^2 - 3n \] \[ 3n^2 - 3n - 156 = 0 \]

Разделим на 3: \[ n^2 - n - 52 = 0 \]

Теперь используем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 1 + 208 = 209 \]

Находим корни \( n \): \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{209}}{2} \]

Так как \( \sqrt{209} \approx 14.456 \): \[ n \approx \frac{1 + 14.456}{2} \approx 7.728 \]

Итак, \( n \) должно быть целым числом. Попробуем \( n = 8 \):

• Подставим в уравнение: \[ 78 = n(n - 1) - n + \frac{(n - 1)n}{2} \] \[ 78 = 8(7) - 8 + \frac{7(8)}{2} = 56 - 8 + 28 = 76 \]

И проверка \( n = 7 \) дает:

• 78 = 7*6 - 7 + 21 (что там остается) = 42.

Таким образом, количество детей: \[ \boxed{8} \]