Дед мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где везде все дети были разного возраста. Каждый из детей начиная со старшего сделал следующее : раздал из мешка по две конфеты…
Дед мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где везде все дети были разного возраста. Каждый из детей начиная со старшего сделал следующее : раздал из мешка по две конфеты каждому ребёнку младше себя, взял одну конфету себе, из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед мороз уходил из 200 конфет у него осталось 80. Сколько детей было на празднике?
Давайте разберём эту задачу пошагово.
Обозначим количество детей на празднике за \( n \). Пусть старший ребёнок — это первый по возрасту, а младший — последний. Каждый из детей сначала раздаёт по две конфеты всем младшим детям и берёт одну себе, а затем добавляет по одной конфете в мешок для всех старших детей.
Пусть у нас есть разные дети с возрастами от 1 до \( n \). Старший ребёнок раздаёт два конфеты всем детям от 1 до \( n-1 \) (то есть младшим), берёт одну конфету себе, а затем ещё добавляет по одной конфете для всех детей старше него, то есть никого не добавляет.
Аналогично, второй по возрасту ребёнок раздаёт два конфеты всем младшим (т.е. тем, кто меньше него) и добавляет по одной конфете для всех старших. Этот процесс продолжается до самого младшего ребёнка, который ничего не раздаёт и не добавляет.
Теперь учтем, что изначально у Деда Мороза было 200 конфет. После всех действий у него осталось 80 конфет. Следовательно, он раздал \( 200 - 80 = 120 \) конфет.
Каждый ребёнок (всех \( n \) детей) раздаёт определённое количество конфет, а именно по 2 конфеты каждому младшему. Количество младших детей, которому старший ребёнок раздал конфеты, равно \( k \), где \( k \) — номер текущего детей (от старшего к младшему). То есть, когда первый ребёнок раздаёт, он раздаёт 2 конфеты \( n-1 \) детям, второй — 2 конфеты \( n-2 \) детям, и так далее.
Сумма конфет, розданных всеми детьми, равна: \[ 2(n-1) + 2(n-2) + ... + 2(0) = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)n \]
Получаем уравнение: \[ (n-1)n = 120 \]
Перепишем это уравнение: \[ n^2 - n - 120 = 0 \]
Решим его с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 1 + 480 = 481 \]
Корни уравнения: \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{481}}{2} \]
Поскольку \(\sqrt{481} \approx 21.93\): \[ n = \frac{1 + 21.93}{2} \approx 11.465 \] или \[ n = \frac{1 - 21.93}{2} \approx -10.465 \text{ (не подходит)} \]
Таким образом, ближайшее целое число \( n \) — это 12.
Таким образом, мы можем сказать, что на празднике было 12 детей.
