три круга радиуса 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 1 и радиусом 2 касаются в точке А, а круги радиусом 2 и радиусом 3 - в точке В. Найдите…

Для решения задачи можно воспользоваться методом координат и некоторыми геометрическими соотношениями.

1. Определим координаты кругов:

   • Пусть центр круга радиуса 1 находится в точке \( O_1(0, 0) \).
   • Центр круга радиуса 2 будет в \( O_2 \). Поскольку круги касаются, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: \( R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3 \). Необходимо выбрать такое положение, чтобы оба круга касались не только в точке, но и оставались на одной стороне.
   • Пусть \( O_2(3, 0) \) (то есть, мы начинаем от центра круга радиуса 1 и идем вдоль оси абсцисс).
   • Теперь определим координаты центра круга радиуса 3, обозначим его как \( O_3 \). Круг радиуса 3 также должен касаться круга радиуса 2, поэтому расстояние от \( O_2 \) до \( O_3 \) должно быть равно \( R_2 + R_3 = 2 + 3 = 5 \).

2. Центр \( O_3 \) можно расположить в координатах \( O_3(3 + 5, 0) = O_3(8, 0) \) на той же прямой.

3. Найдем точки касания:

   • Точка касания кругов радиуса 1 и 2 (точка A) будет находиться на линии, проходящей вдоль оси абсцисс и на расстоянии радиуса круга 1 от центра \( O_1 \) плюс радиус круга 2 от центра \( O_2 \). В данном случае она находится на \( (1, 0) \).
   • Точка касания кругов радиуса 2 и 3 (точка B) будет находиться на расстоянии радиуса круга 2 от центра \( O_2 \) плюс радиус круга 3 от центра \( O_3 \). Середина между ними, с координатами \( (3 + 2.5, 0) = (5.5, 0) \).

4. Теперь найдем расстояние между точками A и B:

   \[ AB = |5.5 - 1| = 4.5 \]

5. Итоговое расстояние, умноженное на \( \sqrt{5} \):

   \[ 4.5 \cdot \sqrt{5} \]

Таким образом, получаем ответ:

\[ 4.5 \sqrt{5} \]