Дед Мороз с мешком конфет пришел на праздник ,где все дети были разного возраста.Каждый из детей,начиная со старшего,сделал следущее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребенку младше себя взял одну конфету себе из своих конфет положил в мешрк по одной штуке для каждого ребенка старше себя Когда Дед Мороз уходил,из 100 конфет у него в мешке осталось только 9.Сколько детей было на празднике?

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Дед Мороз пришел с 100 конфетами и, уходя, у него осталось 9 конфет. Значит, он отдал 100 - 9 = 91 конфету.

2. Пусть количество детей на празднике обозначим за \( n \). Дети разного возраста, и каждый старший ребенок раздает по 2 конфеты младшим детям. Дед Мороз также забирает одну конфету себе и отдает по одной конфете старшим детям.

3. Предположим, старший ребенок раздает конфеты всем младшим. Если старший ребенок — это \( k \)-й по возрасту, тогда он раздает конфеты всем детям, которые младше, а их количество равно \( k - 1 \). Он раздает \( 2 \times (k - 1) \) конфет и берет одну конфету себе, то есть тратит \( 2(k - 1) + 1 = 2k - 1 \) конфет.

4. Точно так же делает каждый старший ребенок. Получается, что старший ребенок \( i \) будет раздавать \( 2 \times (i - 1) + 1 \) конфет.

5. Далее, каждый старший берет по одной конфете для каждого из старших детей, старше себя. Если количество „старших“ детей в этом случае \( n - i \), то они отдадут по одной конфете, и каждый «старший» также отдает по \( n - (i + 1) \).

Теперь, чтобы решить задачу:

Обозначим:

• \( n \) — количество детей.
• Каждый из старших детей (от 1 до n) дает по 2 конфеты младшим и берет по одной конфете для себя и отдает старшим.

Если все эти затраты суммировать, результирующая общая сумма конфет, отданных Дедом Морозом (91 конфета) равняется.

Подсчитаем общее количество раздач:

• Каждый из \( n \) детей старшего возраста раздает 2 конфеты всем младшим,
• Итак, мы можем представить, что это равняется: \[ \sum_{i=1}^{n} (2(m - i) + 1) + (n - i) \text{ где } m - количество детей. \]

На самом деле мы можем понять, что если \( x \) — это количество всех конфет на единицу возраста, тогда \[ n = \text{количество детей} \text{ и } 91 = 2 \times \text{количество детей}. \]

Таким образом, найдя возможные значения, из условий имеем:

Находим \( n = 10 \).

Ответ: на празднике было 10 детей.