Есть доска 15 × 9. Мотя красит каждую клетку в один из трёх цветов - белый, красный или синий. Когда Мотя закончит, Вова может найти любую одноцветную пару клеток, имеющих общую…
Есть доска 15 × 9. Мотя красит каждую клетку в один из трёх цветов - белый, красный или синий. Когда Мотя закончит, Вова может найти любую одноцветную пару клеток, имеющих общую сторону или вершину, и перекрасить эту пару клеток в зелёный цвет (и так делать до тех пор, пока это возможно). Мотя платит Вове по 5 рублей за каждую зелёную клетку. Сколько денег может гарантированно получить Вова?
Давайте разберем задачу. У нас есть доска размером 15 × 9, то есть 135 клеток (15 умножить на 9). Мотя красит каждую клетку в один из трёх цветов: белый, красный или синий. Вова может найти пары клеток одного цвета, которые имеют общую сторону (горизонтально или вертикально) или общую вершину (по диагонали), и перекрашивать их в зелёный цвет.
Поскольку Вова зарабатывает 5 рублей за каждую зеленую клетку, необходимо выяснить, сколько таких клеток он может гарантированно перекрасить в зеленый цвет, независимо от того, как Мотя закрасит доску.
В случае, если Мотя будет стараться минимизировать количество пар одноцветных клеток, самая оптимальная раскраска будет создавать максимально равномерное распределение клеток по цветам. Однако самый худший сценарий для Вовы — это когда клетки будут закрашены так, что одноцветные группы будут разбросаны и не иметь возможности объединиться.
На практике, даже при наиболее равномерном подходе, можно рассчитывать, что клетки одного цвета образуют группы, и если сосчитать минимальные возможные группы, можно предположить, что на доске будет, по крайней мере, определённое количество пар, которые будут перекрашены в зелёный цвет.
Поскольку у нас три цвета, можно распределить клетки так, чтобы у каждого цвета было примерно равное количество. Пусть будет 45 клеток одного цвета, 45 другого и 45 третьего. В этом случае, каждая пара одноцветных клеток можем образовывать в пределах одного цвета.
Рассмотрим одну из возможных конфигураций:
- Если для каждого цвета буде по 45 клеток, то Вова сможет перекрасить:
- По вертикали и по горизонтали можно будет формировать пары, а также учесть диагонали.
- Каждый цвет можно сгруппировать в блоки, например по 5 на 9 (или 3 на 15), что позволяет создавать много пар.
Условия задачи подразумевают, что Вова будет перерабатывать как можно больше клеток, так что в самом оптимистичном расчете:
При оптимальном раскрасе клеток, в среднем Вова сможет перекрасить около 45 клеток в зелёный цвет (если цвета распределены равномерно и блоками) или даже больше, если возникают возможности для соединения клеток в группы.
Таким образом, максимально возможная сумма, которую Вова может гарантированно получить, составит 5 (рублей) × 45 (зелёных клеток) = 225 рублей.
Итак, Вова может гарантированно заработать около 225 рублей, если раскраска будет равномерной, с достаточным количеством одноцветных пар клеток.
