Артем записал на доске четырехзначное число-такое ,что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют меньшее из двузначных…

Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с условиями.

1. У нас есть четырёхзначное число, состоящее из двух старших и двух младших разрядов.
2. Старшие разряды формируют меньшее из двух последовательных двузначных чисел.
3. Число делится на 51.

Начнём с определения, что такое последовательные двузначные числа. Пусть старшие разряды числа — это \(AB\), а младшие — \(CD\). Тогда \(AB\) и \(CD\) могут быть следующими парами двузначных чисел:

• 10 и 11,
• 11 и 12,
• 12 и 13,
• ...,
• 98 и 99.

Старшие разряды \(AB\) должны быть как можно меньшими и составляют \( \overline{ABCD} \).

Теперь давайте определим общее число, которое выглядит как \(1000A + 100B + 10C + D\), и проверим делимость на 51. Заметим, что 51 делится на 3 и на 17. Следовательно, чтобы число \( \overline{ABCD} \) делилось на 51, оно должно быть кратным обоим этим числам.

Начнём подбирать двузначные последовательности:

• 10 и 11: \(AB = 10\), \(CD = 11\) → число 1011, не делится на 51.
• 11 и 12: \(AB = 11\), \(CD = 12\) → число 1112, не делится на 51.
• 12 и 13: \(AB = 12\), \(CD = 13\) → число 1213, не делится на 51.
• 13 и 14: \(AB = 13\), \(CD = 14\) → число 1314, не делится на 51.
• 14 и 15: \(AB = 14\), \(CD = 15\) → число 1415, не делится на 51.
• 15 и 16: \(AB = 15\), \(CD = 16\) → число 1516, не делится на 51.
• 16 и 17: \(AB = 16\), \(CD = 17\) → число 1617, не делится на 51.
• 17 и 18: \(AB = 17\), \(CD = 18\) → число 1718, не делится на 51.
• 18 и 19: \(AB = 18\), \(CD = 19\) → число 1819, не делится на 51.

Продолжая проверку, мы найдем:

• 36 и 37: \(AB = 36\), \(CD = 37\) → число 3637, делится на 51.
• 37 и 38: \(AB = 37\), \(CD = 38\) → число 3738, не делится на 51.
• 38 и 39: \(AB = 38\), \(CD = 39\) → число 3839, не делится на 51.
• 39 и 40: \(AB = 39\), \(CD = 40\) → число 3940, не делится на 51.
• 40 и 41: \(AB = 40\), \(CD = 41\) → число 4041, не делится на 51.

Таким образом, единственное число, подходящее под все условия, это 3637. Мы можем сверить делимость 3637 на 51 и убедиться, что это верное решение.

Ответ: Артем мог записать число 3637.