Иван расставил в таблицу 4 × 5 (строк меньше, чем столбцов) числа 0, 1, 2, 3, 4 так, чтобы ни в каком столбце и ни в какой строке не встречались одинаковые числа. Затем он подсчитал сумму чисел в двух первых столбцах. Какие числа у него НЕ могли получиться?
Для решения этой задачи давайте сначала разберемся с условиями:
Иван заполнил таблицу размером 4 × 5 числами 0, 1, 2, 3, 4 так, что ни в одной строке, ни в одном столбце не повторяются одинаковые числа. Таким образом, в каждом из первых двух столбцов могут быть только разные числа из данного диапазона.
В каждом из двух первых столбцов могут находиться следующие комбинации:
- В первом столбце могут находиться 0, 1, 2, 3 или 4.
- Во втором столбце могут находиться числа, отличные от выбранного для первого столбца.
Обозначим числа в первом столбце как \(a_1\) и во втором столбце как \(a_2\). Сумма двух первых столбцов тогда может выглядеть как \(S = a_1 + a_2\).
Теперь давайте рассмотрим возможные суммы \(S\):
Если \(a_1 = 0\), то \(a_2\) может быть 1, 2, 3 или 4:
- \(S = 0 + 1 = 1\)
- \(S = 0 + 2 = 2\)
- \(S = 0 + 3 = 3\)
- \(S = 0 + 4 = 4\)
Если \(a_1 = 1\), то \(a_2\) может быть 0, 2, 3 или 4:
- \(S = 1 + 0 = 1\)
- \(S = 1 + 2 = 3\)
- \(S = 1 + 3 = 4\)
- \(S = 1 + 4 = 5\)
Если \(a_1 = 2\), то \(a_2\) может быть 0, 1, 3 или 4:
- \(S = 2 + 0 = 2\)
- \(S = 2 + 1 = 3\)
- \(S = 2 + 3 = 5\)
- \(S = 2 + 4 = 6\)
Если \(a_1 = 3\), то \(a_2\) может быть 0, 1, 2 или 4:
- \(S = 3 + 0 = 3\)
- \(S = 3 + 1 = 4\)
- \(S = 3 + 2 = 5\)
- \(S = 3 + 4 = 7\)
Если \(a_1 = 4\), то \(a_2\) может быть 0, 1, 2 или 3:
- \(S = 4 + 0 = 4\)
- \(S = 4 + 1 = 5\)
- \(S = 4 + 2 = 6\)
- \(S = 4 + 3 = 7\)
Теперь соберем все возможные суммы:
- Суммы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Объединяя все полученные значения, мы видим, что возможные значения суммы \(S\) — это 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Таким образом, числа 0 и 8 не могут быть получены в результате сложения двух чисел из набора 0, 1, 2, 3, 4. Именно эти числа и ни одно другое не могут быть суммой значений в двух первых столбцах.
